简单三角很等变换
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 00:45:42
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三角函数
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)...
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三角函数
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
二倍角
sin(2α)=2sinα·cosα=2tan(α)/[1-tan^2(α)]
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)=[1-tan^2(α)]/[1+tan^2(α)]
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
三倍角
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
tan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α))
sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α)
cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α)
tan3α=tanα×tan(60-α)tan(60+α)
半角公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
半角变形
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
sin(a/2)=√[(1-cosα)/2] a/2在一、二象限
=-√[(1-cosα)/2] a/2在三、四象限
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
cos(a/2)=√[(1+cosα)/2] a/2在一、四象限
=-√[(1+cosα)/2] a/2在二、三象限
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=√[(1-cosα)/(1+cosα)] a/2在一、三象限
=-√[(1-cosα)/(1+cosα)] a/2在二、四象限
恒等变形
tan(a+π/4)=(tana+1)/(1-tana)
tan(a-π/4)=(tana-1)/(1+tana)
asinx+bcosx=[√(a^2+b^2)]{[a/√(a^2+b^2)]sinx+[b/√(a^2+b^2)]cosx}=[√(a^2+b^2)]sin(x+y)(辅助角公式)
tan y=b/a
万能代换
半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
积化和差
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ= -(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)](注:留意最前面是负号)
和差化积
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
内角公式
sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
证明方法
首先,在三角形ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角,则在三角形ABC中,过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA(做另两边的垂线,同理)可证明正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有:AD+BD=c AD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理,可得sinC=sin(180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下,可证明正弦和的公式。利用正弦和余弦的定义及周期性,可证明该公式对任意角成立。于是有 cos(A+B)=sin(90-A-B)=sin(90-A)cos(-B)+cos(90-A)sin(-B)=cosAcosB-sinAsinB
由此易得以上全部公式
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