我们来讨论一下泰勒公式有多“近似”的话题我们知道,泰勒公式可以近似表示一个函数某处附近的情况从上图我们也发现:sinx(绿色的线) 在x=0处附近的情况 不同阶

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/28 19:11:36
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我们来讨论一下泰勒公式有多“近似”的话题我们知道,泰勒公式可以近似表示一个函数某处附近的情况从上图我们也发现:sinx(绿色的线) 在x=0处附近的情况 不同阶
我们来讨论一下泰勒公式有多“近似”的话题





我们知道,泰勒公式可以近似表示一个函数某处附近的情况
从上图我们也发现:sinx(绿色的线) 在x=0处附近的情况
                               不同阶的展开式    ~
展开式的阶越大,“可近似”的范围也扩大
                            如:蓝色的线在【-2,2】范围与sinx(绿色的线)接近
那么我的话题是:能否用纯数学的方法判断一个某阶的展开式在什么范围内与函数本身很接近?
                            而不是用计算机的方式.
哈哈!我后来才学习到余项公式来估计误差.

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从这可看出你很喜欢深入研究数学,这非常好.
泰勒公式是一个无穷级数的表达式.在其收敛区间,它可以准确表示一个函数.
在用泰勒公式求它在收敛区间的函数值时,我们只能算出有限项的值,这个值与准确的函数值是不同的.二者的差异就是误差.只有当误差在我们容许的范围内,这个值对我们才有意义,于是有了关于误差估计的余项公式.所以有限项的泰勒展式在容许的范围内才能近似表示该函数的值.超过这个范围后,就毫无意义了.牛顿时期的好些数学大师用泰勒公式解决了许多问题,因为他们没能研究收敛问题,所以也犯过一些错误,甚至得出一些荒谬的结论.近代级数理论完美解决了这些问题.
数学总是在实际问题的研究中不断发展,不断地完善和完美起来.

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