已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|+x-3|+...+|x-20|,x属于正整数,且1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 12:51:01
已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|+x-3|+...+|x-20|,x属于正整数,且1
已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|+x-3|+...+|x-20|,x属于正整数,且1
已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|+x-3|+...+|x-20|,x属于正整数,且1
|x-1|+|x-20|≥|x-1+20-x|=19（当且仅当1≤x≤20时取等号）
|x-2|+|x-19|≥|x-2+19-x|=17（当且仅当2≤x≤19时取等号）
……
|x-10|+|x-11|≥|x-10+11-x|=1（当且仅当10≤x≤11时取等号）
于是 f(x)≥19+17+……+1 = 100（当且仅当上述条件都同时成立即10≤x≤11时取等号）
即10≤x≤11时,f(x)有最小值,最小值为100.
这道题较灵活，解答如下：
令x=m（1<=m<=20且为整数）当f(x)取得最小
f(x)=|x-1|+|x-2|+x-3|+...+|x-20|
=|m-1|+|m-2|+|m-3|+....0...+|m-18|+|m-19|+|x-20|（必然有一个绝对值为0的）
=(m-1)+(m-2)+(m-3)+...0+...(18-m)+(19-m)+...
全部展开
这道题较灵活，解答如下：
令x=m（1<=m<=20且为整数）当f(x)取得最小
f(x)=|x-1|+|x-2|+x-3|+...+|x-20|
=|m-1|+|m-2|+|m-3|+....0...+|m-18|+|m-19|+|x-20|（必然有一个绝对值为0的）
=(m-1)+(m-2)+(m-3)+...0+...(18-m)+(19-m)+(20-m)
(注明：容易看出m-1，m-2，..，0，...m-18,m-19,m-20是逐渐减小的，0前面的式子应全大于0的，故去掉绝对值时为本身。0后面的式子应全小于0的，故去掉绝对值时为本身的相反数)
={(m-1)+(m-2)+(m-3)+...0} + {0+...(18-m)+(19-m)+(20-m)} (多加了一项0，值是不变的)
= {(m-1)+(m-2)+(m-3)+...（m-m) } + {m-m )+...(18-m)+(19-m)+(20-m)} （等差数列，各用求和公式）
=m(m-1)/2+(21-m)(20-m)/2
=(m^2-m+420-41m+m^2)/2
=(2m^2-42m+420)/2
=m^2-21m+210
=(m-10.5)^2+399/4
所以当m=10或11时取得最小为100（按理取10.5最小，但因为取不到10.5，只有比较最接近10.5的整数发现取10或11时一样）
收起