已知抛物线…已知抛物线y方=2px(p>0)和点A(5,0),A点到抛物线上的点最短距离为4(1)求此抛物线的方程(2)设A、B是抛物线上的两点,当OA垂直OB时,求证：直线AB恒过定点Q,并求q点坐标
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 11:13:29
已知抛物线…已知抛物线y方=2px(p>0)和点A(5,0),A点到抛物线上的点最短距离为4(1)求此抛物线的方程(2)设A、B是抛物线上的两点,当OA垂直OB时,求证：直线AB恒过定点Q,并求q点坐标
已知抛物线…
已知抛物线y方=2px(p>0)和点A(5,0),A点到抛物线上的点最短距离为4
(1)求此抛物线的方程
(2)设A、B是抛物线上的两点,当OA垂直OB时,求证：直线AB恒过定点Q,并求q点坐标
已知抛物线…已知抛物线y方=2px(p>0)和点A(5,0),A点到抛物线上的点最短距离为4(1)求此抛物线的方程(2)设A、B是抛物线上的两点,当OA垂直OB时,求证：直线AB恒过定点Q,并求q点坐标
（1）依题意知,抛物线开口向右,顶点在原点,设抛物线上任一点M(xo,yo),则
xo≥0,且yo²=2pxo
MA²=(xo-5)² +yo²=(xo-5)² +2pxo=xo² -(10-2p)xo+25=令=g(x)
则g(x)是一个二次函数,开口向上,对称轴为x=5-p
下面来求g(x)在x≥0上的最小值.
当对称轴在y轴左侧时,5-p5,此时g(x)在x≥0上是单调的增函数,所以g(x)在x=0时取得最小值.
最小值= g(0)=25,所以,A点到抛物线上的点最短距离为5,与题设矛盾,不成立.
当对称轴在y轴右侧时,5-p≥0,即p≤5,此时g(x)在x≥0上先递减后递增,所以g(x)在对称轴x=5-p处取得最小值.
最小值= g(5-p)= -p²+10p,依题意得
-p²+10p=4²,结合p>0及p≤5,解这个方程得p=2
综上所述,抛物线的方程为y²=4x
(2)设AB的直线方程为x=ky+b,(b≠0),代入抛物线方程消x得
y²-4ky-4b=0
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由韦达定理有
y1+y2=4k
y1y2= -4b
向量OA= (x1,y1)、向量OB(x2,y2)
因为OA⊥OB,所以向量OA*向量OB=0,即
(x1,y1)*(x2,y2)=0,化简得
x1x2+y1y2=0
(ky1+b) (ky2+b)+y1y2=0
(k²+1) y1y2+kb(y1+y2)+b²=0
(k²+1)*(-4b)+kb*(4k)+b²=0
解得b=4
所以AB的直线方程为x=ky+4,令y=0得x=4,所以无论k为何值,直线AB恒过定点(4,0)
故原题得证,直线AB恒过定点Q(4,0)