已知双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),椭圆C以该双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点。（1）当a=√3,b=1时，求椭圆C的方程（2）在（1）的条件下，直线l：y=kx+1/2与y轴交于点P，与椭圆交于A
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 01:02:24
已知双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),椭圆C以该双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点。（1）当a=√3,b=1时，求椭圆C的方程（2）在（1）的条件下，直线l：y=kx+1/2与y轴交于点P，与椭圆交于A
已知双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),椭圆C以该双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点。
（1）当a=√3,b=1时，求椭圆C的方程
（2）在（1）的条件下，直线l：y=kx+1/2与y轴交于点P，与椭圆交于A，B两点，若C为坐标原点，△AOP与△BOP面积之比为2：求直线l的方程
（3）若a=1，椭圆C与直线l'：y=x+5有公共点，求该椭圆的长轴长的最小值
已知双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),椭圆C以该双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点。（1）当a=√3,b=1时，求椭圆C的方程（2）在（1）的条件下，直线l：y=kx+1/2与y轴交于点P，与椭圆交于A
椭圆C的方程x²/4+y²=1
(2)
x²/4+y²=1与y=kx+1/2联立得
(4k²+1)x²+4kx-3=0
x=[-2k±√(16k²+3)]/(4k²+1)
∵△AOP与△BOP面积之比为2：1,设A(x1,y1),B(x2,y2)
S△AOP=1/2*OP*|x1|
S△BOP=1/2*OP*|x2|
∴|x1|:|x2|=2:1
[2k+√(16k²+3)]/(4k²+1):[-2k+√(16k²+3)]/(4k²+1)=2:1
或
[2k+√(16k²+3)]/(4k²+1):[-2k+√(16k²+3)]/(4k²+1)=1:2
解得
k=±√15/10
所以直线l的方程：y=±√15/10*x+1/2
(3)
由题意可设椭圆C的方程为x²/(b²+1)+y²/b²=1与y=x+5联立得
(2b²+1)x²+10(b²+1)x+(25-b²)(b²+1)=0
Δ=100(b²+1)²-4(2b²+1)(25-b²)(b²+1)≥0解得
b²(2b²-49)≥0
∴b²≥49/2
该椭圆的长轴长2√(b²+1)≥2√(49/2+1)=√102
所以该椭圆的长轴长的最小值为√102