设向量组a1,a2,a3,a4的秩小于4,a4不能由a1,a2,a3线性表示,证明:向量组a1,a2,a3的秩小于3.请大家教教我这道题目怎么做,最好有个过程
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 19:35:43
设向量组a1,a2,a3,a4的秩小于4,a4不能由a1,a2,a3线性表示,证明:向量组a1,a2,a3的秩小于3.请大家教教我这道题目怎么做,最好有个过程
设向量组a1,a2,a3,a4的秩小于4,a4不能由a1,a2,a3线性表示,证明:向量组a1,a2,a3的秩小于3.
请大家教教我这道题目怎么做,最好有个过程
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向量组a1,a2,a3,a4的秩小于4,说明向量组a1,a2,a3,a4线性相关;
即存在不全为0的4个数k1,k2,k3,k4使得k1*a1+k2*a2+k3*a3+k4*a4=0(注由于这里不好写下标,在此声明k1,k2,k3,k4为系数)
又因为a4不能由a1,a2,a3线性表示,所以不存在如下的等式关系:
a4=c1*a1+c2*a2+c3*a3(注c1,c2,c3为系数,也就是常数)
由上面第一个等式知:k1*a1+k2*a2+k3*a3+k4*a4=0
由上面第二条件知:a4=c1*a1+c2*a2+c3*a3(不成立)
从第一个等式中知要使第二个条件成立,只有k4=0;如果k4!=0的话,那么经 过移项,两边同除以k4,可变成a4=c1*a1+c2*a2+c3*a3,这就产生了矛盾.
故在第1式中只有k4=0;
这样就有k1*a1+k2*a2+k3*a3=0;由条件知:向量组a1,a2,a3,a4的秩小于4,说明向量组a1,a2,a3,a4线性相关;而a4与a1,a2,a3这三个向量组合线性无关,只有a1,a2,a3这三个向量组合线性相关;故a1,a2,a3的秩小于3.
数学就这样,多看看就好了