椭圆x^2/ a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)一短轴顶点与两焦点的连线组成正三角形,且焦点到对应准线的距离为3,过以原点为圆心,半焦距为半径的圆上任意一点P作该圆的切线l且l与椭圆交于A、B两点（1）求椭

椭圆x^2/ a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)一短轴顶点与两焦点的连线组成正三角形,且焦点到对应准线的距离为3,过以原点为圆心,半焦距为半径的圆上任意一点P作该圆的切线l且l与椭圆交于A、B两点（1）求椭
椭圆x^2/ a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)一短轴顶点与两焦点的连线组成正三角形,且焦点到对应准线的距离为3,过以原点为圆心,半焦距为半径的圆上任意一点P作该圆的切线l且l与椭圆交于A、B两点（1）求椭圆的方程（2）求向量OA点乘向量OB的取值范围

椭圆x^2/ a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)一短轴顶点与两焦点的连线组成正三角形,且焦点到对应准线的距离为3,过以原点为圆心,半焦距为半径的圆上任意一点P作该圆的切线l且l与椭圆交于A、B两点（1）求椭



（1）由题意得
   a=2c
a^2/c-c=3
b^2=a^2-c^2 ,
求得a=2,b= √3   
,c=1
∴椭圆方程为x^2/4+y^2/3 =1．
（2）令P（x0,y0）,因圆的方程为x2+y2=1
∴l的方程为：x0x+y0y=1,令A（x1,x2）,B（x2,y2）
①当y0=0时,由
   x^2/4+y^2/3=1
    x 0x+y 0y=1       
得（3+x0^2)x^2-8x0x+12(x0)^2 -8=0
∴x1+x2=8x0 /[3+(x0)^2]
,x1x2=[12(x0)^2-8 ]/ [3+(x0)^2]
  向量 OA •向量OB   =x1x2+y1y2=-5  /[ 3+(x0 )^2 ] 
∵0≤(x0)^2＜1
∴-5/3≤向量OA•向量OB   ＜-5/4   
②当y0=0,x02=1时,可求得A（-1,3/2)   ,B（-1,-3/2   ）,
或A（1,3/2   ）,B（1,-3/2 ）
此时都有
向量OA •向量OB=-5/4   
综上-5/3 ≤向量OA •向量OB≤-5/4