卓里奇 第四章 连续 证明题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 17:08:03
卓里奇第四章连续证明题卓里奇第四章连续证明题卓里奇第四章连续证明题题目最好加上条件：f(x)和g(x)的值域包含于[0,1],否则f[g(x)]对g(x)不属于[0.1]的x没有定义.用反证法,假设不
卓里奇 第四章 连续 证明题
卓里奇 第四章 连续 证明题
卓里奇 第四章 连续 证明题
题目最好加上条件：f(x)和g(x)的值域包含于[0,1],否则f[g(x)]对g(x)不属于[0.1]的x没有定义.用反证法,假设不存在x属于[0,1],使得f(x)=g(x),也就是不存在x使得h(x)=f(x)-g(x)等于0,由于h(x)是连续的,故h(x)在[0,1]上保号（即恒正或恒负,因为如果h(x)变号,则根据零点定理,知存在x0使得h(x0)=0,与假设矛盾）.不妨假设h(x)>0,由h(x)的连续性知,存在ε>0,使得h(x)=f(x)-g(x)>ε,即f(x)>g(x)+ε.现在把f(x)看做自变量,复合后有f[f(x)]>g[f(x)]+ε=f[g(x)]+ε,而把g(x)看做自变量时又有f[g(x)]>g[g(x)]+ε,所以f[f(x)]>g[g(x)]+2ε,根据归纳法可知复合n次后有,f(n)(x)>g(n)(x)+nε（(n)表示复合了n次）.由于n是任意的,所以对于给定的ε>0,总能找到足够大的n,使得nε>1,但这与已知矛盾,因为f和g复合n次后的值域仍包含于[0,1],f(x)和g(x)的差是不可能大于1的,这矛盾说明假设不成立.