求几道关于高中课程直线与圆的方程的趣味数学题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 11:06:03
求几道关于高中课程直线与圆的方程的趣味数学题
求几道关于高中课程直线与圆的方程的趣味数学题
求几道关于高中课程直线与圆的方程的趣味数学题
蝴蝶定理
定理内容：圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点.
证明：过圆心O作AD与BC的垂线,垂足为S、T,连接OX,OY,OM,SM,MT.
∵△AMD∽△CMB
∴AM/CM=AD/BC
∵SD=1/2AD,BT=1/2BC
∴AM/CM=AS/CT
又∵∠A=∠C
∴△AMS∽△CMT
∴∠MSX=∠MTY
∵∠OMX=∠OSX=90°
∴∠OMX+∠OSX=180°
∴O,S,X,M四点共圆
同理,O,T,Y,M四点共圆
∴∠MTY=∠MOY,∠MSX=∠MOX
∴∠MOX=∠MOY ,
∵OM⊥PQ
∴XM=YM
这个定理在椭圆中也成立,如图
1,椭圆的长轴A1、A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中心为M（o,r）（b>r>0）. （Ⅰ）写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率
（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2,y2)（y2>0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3,y3）,H（x4,y4）（y4>0）. 求证：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C,D,G,H,设CH交X轴于点P,GD交X轴于点Q. 求证： | OP | = | OQ |.
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：
（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识,考查分析问题和解决问题的能力.满分15分. （Ⅰ）椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1 焦点坐标为
（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k?x代入椭圆方程,得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2,
整理,得 (b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0
根据韦达定理,得
x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12), x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12),
所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①
将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程,同理可得
x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②
由①,②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)
所以结论成立.
（Ⅲ）证明：设点P（p,o）,点Q（q,o）.
由C,P,H共线,得(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4
解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)
由D,Q,G共线,同理可得
q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)
由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4),变形得：x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)
即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)
所以 |p|=|q|,即,|OP|=|OQ|.