已知函数f（x）=ex-e-x-2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）-4bf（x）,当x＞0时,g（x）＞0,求b的最大值；（Ⅲ）估计ln2的近似值（精确到0.001）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 23:38:44
已知函数f（x）=ex-e-x-2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）-4bf（x）,当x＞0时,g（x）＞0,求b的最大值；（Ⅲ）估计ln2的近似值（精确到0.001）
已知函数f（x）=ex-e-x-2x．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x）-4bf（x）,当x＞0时,g（x）＞0,求b的最大值；
（Ⅲ）估计ln2的近似值（精确到0.001）
已知函数f（x）=ex-e-x-2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）-4bf（x）,当x＞0时,g（x）＞0,求b的最大值；（Ⅲ）估计ln2的近似值（精确到0.001）
对第（Ⅰ）问,直接求导后,利用基本不等式可达到目的；
对第（Ⅱ）问,先验证g（0）=0,只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可,从而问题转化为“判断g'（x）＞0是否成立”的问题；
对第（Ⅲ）问,根据第（Ⅱ）问的结论,设法利用
2
的近似值,并寻求ln2,于是在b=2及b＞2的情况下分别计算g(ln
2
),最后可估计ln2的近似值．
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′(x)=1+
2
x2
-
3
x
=
x2-3x+2
x2
=
(x-1)(x-2)
x2
．
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
当x∈（1，...
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（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′(x)=1+
2
x2
-
3
x
=
x2-3x+2
x2
=
(x-1)(x-2)
x2
．
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）的增区间为（0，1）（2，+∞），
减区间为（1，2）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在区间（1，e2）内，当x=2时，f（x）取得极小值，
而f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f(e2)=e2-
2
e2
-5．
∵f（2）＜f（1）＜f（e2），
∴f（x）在区间（1，e2）上的值域为[2-3ln2，e2-
2
e2
-5]；
（Ⅲ）由f(x)=x-
2
x
-3lnx+1及g(x)=7f(x)+m-
16
x
-4x，
得g(x)=3(x-
10
x
-7lnx)+7+m．
∴g′(x)=3(1+
10
x2
-
7
x
)=
3
x2
(x2-7x+10)=
3
x2
(x-2)(x-5)，x∈[1，4]
当x∈[1，2）时，g′（x）＞0，g（x）在[1，2）上单调递增；
当x∈（2，4]时，g′（x）＜0，g（x）在（2，4]上单调递减．
则g（x）在[1，4]上有最大值g（x）max=g（2）=m-2ln2-2=3．
∴实数m的值为5+2ln2．
收起