什么是计算基数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 19:55:01
什么是计算基数
什么是计算基数
什么是计算基数
在数学上,基数(cardinal number)也叫势(cardinality),指集合论中刻画任意集合所含元素数量多少的一个概念.两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合.例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一 一对应,是两个对等的集合.根据对等这种关系对集合进行分类,凡是互相对等的集合就划入同一类.这样,每一个集合都被划入了某一类.任意一个集合A所属的类就称为集合A的基数,记作(或｜A｜,或cardA).这样,当A 与B同属一个类时,A与B 就有相同的基数,即|A|=|B|.而当 A与B不同属一个类时,它们的基数也不同.
如果把单元素集的基数记作1,两个元素的集合的基数记作2,等等,则任一个有限集的基数就与通常意义下的自然数一致 .空集的基数也记作σ .于是有限集的基数也就是传统概念下的“个数”.但是,对于无穷集,传统概念没有个数,而按基数概念,无穷集也有基数,例如,任一可数集（也称可列集）与自然数集N有相同的基数,即所有可数集是等基数集.不但如此,还可以证明实数集R与可数集的基数不同.所以集合的基数是个数概念的推广.
基数可以比较大小.假设A,B的基数分别是a,β,即|A|＝a,|B|＝β,如果A与B的某个子集对等,就称 A 的基数不大于B的基数,记作a≤β,或β≥a.如果 a≤ β,但a≠β（ 即A与B不对等 ）,就称A的基数小于B的基数,记作a＜β,或β＞a.在承认策梅罗(Zermelo)选择公理的情况下,可以证明基数的三岐性定理——任何两个集合的基数都可以比较大小,即不存在集合A和B,使得A不能与B的任何子集对等,B也不能与A的任何子集对等.
基数可以进行运算 .设|A|＝a ,|A|＝β,且 A∩B是空集,则规定为a 与β之和记作＝a ＋β.设|A|＝a,|B|＝β,A×B为 A与B的积集,规定为 a 与β的积,记作＝a·β.