F(x)=ln(x+1),g(x)=1/2ax2+bx (1). 若b=2且h(x)=f(x-1)F(x)=ln(x+1),g(x)=1/2ax2+bx(1). 若b=2且h(x)=f(x-1)-g(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围2. 若a=0,b=1,求证：当x属于（-1,+00）时,f(x)-g(x)小于等于0恒成立
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 01:18:10
F(x)=ln(x+1),g(x)=1/2ax2+bx (1). 若b=2且h(x)=f(x-1)F(x)=ln(x+1),g(x)=1/2ax2+bx(1). 若b=2且h(x)=f(x-1)-g(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围2. 若a=0,b=1,求证：当x属于（-1,+00）时,f(x)-g(x)小于等于0恒成立
F(x)=ln(x+1),g(x)=1/2ax2+bx (1). 若b=2且h(x)=f(x-1)
F(x)=ln(x+1),g(x)=1/2ax2+bx
(1). 若b=2且h(x)=f(x-1)-g(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围
2. 若a=0,b=1,求证：当x属于（-1,+00）时,f(x)-g(x)小于等于0恒成立
F(x)=ln(x+1),g(x)=1/2ax2+bx (1). 若b=2且h(x)=f(x-1)F(x)=ln(x+1),g(x)=1/2ax2+bx(1). 若b=2且h(x)=f(x-1)-g(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围2. 若a=0,b=1,求证：当x属于（-1,+00）时,f(x)-g(x)小于等于0恒成立
1.
h(x)=f(x-1)-g(x)=lnx-(1/2)ax²-2x,x>0
h'(x)=1/x-ax-2=-(ax²+2x-1)/x
i)当a=0,h'(x)=-(2x-1)/x
知x∈(1/2,+∞),h'(x)<0,h(x)单调减少
ii)a≠0,只需讨论ax²+2x-1=0的判别式△=4(1+a),[x1+x2=-a/2,x1x2=1/a,x1
当a=-1,h'(x)=(x-1)²/x≥0,且h'(x)不恒为0,知h(x)在定义域内单调增加,知不存在单调减少区间
当-1
当a>0,△>0,令h'(x)=0,x>0.x无解,此时恒有h'(x)<0知x∈(0,+∞),h(x)单调减少
综上要使得h(x)存在单调减区间,a的取值范围为a∈(-1,+∞)
2.
证法1
记f(y)=xlnx+ylny-(x+y)ln[(x+y)/2],0
则f(y)在y>x>0上单调增加,又f(y)可在y=x处连续有
f(y)>f(x)=2xlnx-2xlnx=0,y>x>0
即xlnx+ylny-(x+y)ln[(x+y)/2]>0
亦即xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2],0
证法2
原命题等价于[(xlnx)+(ylny)]/2>[(x+y)/2]ln[(x+y)/2]
即证 [f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2],其中f(x)=xlnx,x>0
即证f(x)为凹函数
只需证其二阶导数f"(x)>0
∵f'(x)=lnx+1
f"(x)=1/x>0
∴命题成立.