(1+1/2)(1+1/4)(1+1/8)...(1+1/2^n)求极限是多少?看看清楚1+1/4后面是1+1/8而不是1+1/16！不是正无穷。是2.3842......但是我要准确的数。思路看懂了，但是能不能请你帮忙继续做下去，回复“moramomo”事实

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/18 23:52:00

(1+1/2)(1+1/4)(1+1/8)...(1+1/2^n)求极限是多少?看看清楚1+1/4后面是1+1/8而不是1+1/16！不是正无穷。是2.3842......但是我要准确的数。思路看懂了

(1+1/2)(1+1/4)(1+1/8)...(1+1/2^n)求极限是多少?看看清楚1+1/4后面是1+1/8而不是1+1/16！不是正无穷。是2.3842......但是我要准确的数。思路看懂了，但是能不能请你帮忙继续做下去，回复“moramomo”事实
(1+1/2)(1+1/4)(1+1/8)...(1+1/2^n)求极限是多少?
看看清楚
1+1/4后面是1+1/8而不是1+1/16！
不是正无穷。
是2.3842......
但是我要准确的数。
思路看懂了，但是能不能请你帮忙继续做下去，
回复“moramomo”
事实上，的确有错。极限里面的东西是递增的，首相是1.无论如何极限不会是1
zhang_1118：
蔡学锋:

(1+1/2)(1+1/4)(1+1/8)...(1+1/2^n)求极限是多少?看看清楚1+1/4后面是1+1/8而不是1+1/16！不是正无穷。是2.3842......但是我要准确的数。思路看懂了，但是能不能请你帮忙继续做下去，回复“moramomo”事实
这题似乎很难用初等方法解,就提供一个思路吧
令f(x)=(1+x)(1+x^2)……(1+x^n) (-1

正无限大

(1+1/2的8次方)(1+1/2的4次方)(1+1/2的2次方)(1+1/2)
=(1+1/2的8次方)(1+1/2的4次方)(1+1/2的2次方)(1+1/2)(1-1/2)/(1-1/2)
=(1-1/2的16次方)/(1-1/2)
=2-1/2的15次方

正无限大

(1+1/2)(1+1/4)(1+1/8)...(1+1/2^n)
=(1-1/2)(1+1/2)(1+1/4)(1+1/8)...(1+1/2^n)/(1-1/2)
=[1-1/2^(n+1)]/(1-1/2)
lim(n→∞)[1-1/2^(n+1)]/(1-1/2)
=2

趋向于2

2.3842......

全部展开

有些符号不好敲出来，我就用语言描述吧
原式通项为（1+2^-i)，求其i 从1到n项积
取对数e^ln(1+2^-i),e的指数即可变为通项为ln(1+2^-i)
i从1到n之和。
现在可用定积分定义求：先只看指数部分，可表示为
n倍的积分限为0——1的ln(1+2^-nx)dx,这个积分直接求不出来，用积分中值定理令其=ln(1+2^-n&),0<&<1
此时，所求为e^（（ln(1+2^-n&)）/(1/n)）,此时1/2<2^-&<1,其n次方，当n趋于无穷大时就趋于0，所以指数是“0除0型”可用洛必达求得，指数为n/2^&n,为0。（1<2^&<2). 所以原式极限为1。
有错吗？

收起

全部展开

这题似乎很难用初等方法解，就提供一个思路吧
令f(x)=(1+x)(1+x^2)……(1+x^n) (-1lnf(x)=ln(1+x)+ln(1+x^2)+……+ln(1+x^n)
把每一项展开成无穷级数，再把次数相同的项合并，代入x=1/2，那么原式就=e^[ln(1+1/2)+ln(1+1/2^2)+……+ln(1+1/2^n)].当然只是思路而已，计算过程相当复杂
有些符号不好敲出来，我就用语言描述吧
原式通项为（1+2^-i)，求其i 从1到n项积
取对数e^ln(1+2^-i),e的指数即可变为通项为ln(1+2^-i)
i从1到n之和。
现在可用定积分定义求：先只看指数部分，可表示为
n倍的积分限为0——1的ln(1+2^-nx)dx,这个积分直接求不出来，用积分中值定理令其=ln(1+2^-n&),0<&<1
此时，所求为e^（（ln(1+2^-n&)）/(1/n)）,此时1/2<2^-&<1,其n次方，当n趋于无穷大时就趋于0，所以指数是“0除0型”可用洛必达求得，指数为n/2^&n,为0。（1<2^&<2). 所以原式极限为1。
有错吗？
(1+1/2)(1+1/4)(1+1/8)...(1+1/2^n)
=(1-1/2)(1+1/2)(1+1/4)(1+1/8)...(1+1/2^n)/(1-1/2)
=[1-1/2^(n+1)]/(1-1/2)
lim(n→∞)[1-1/2^(n+1)]/(1-1/2)
=2

收起

难度太大,高数忘的差不多了,2年前也许还能做出来,现在不行了.

全部展开

(1+1/2)(1+1/4)(1+1/8)...(1+1/2^n)
=(1-1/2)(1+1/2)(1+1/4)(1+1/8)...(1+1/2^n)/(1-1/2)
=[1-1/2^(n+1)]/(1-1/2)
lim(n→∞)[1-1/2^(n+1)]/(1-1/2)
=2
回答者：我不是他舅 - 参将八级 12-11 21:03
正无限大
回答者：guozihan556 - 试用期一级 12-12 09:30
(1+1/2的8次方)(1+1/2的4次方)(1+1/2的2次方)(1+1/2)
=(1+1/2的8次方)(1+1/2的4次方)(1+1/2的2次方)(1+1/2)(1-1/2)/(1-1/2)
=(1-1/2的16次方)/(1-1/2)
=2-1/2的15次方
回答者：65498419841687 - 兵卒一级 12-12 18:14
正无限大
回答者：erni835 - 试用期一级 12-16 00:00
这题似乎很难用初等方法解，就提供一个思路吧
令f(x)=(1+x)(1+x^2)……(1+x^n) (-1lnf(x)=ln(1+x)+ln(1+x^2)+……+ln(1+x^n)
把每一项展开成无穷级数，再把次数相同的项合并，代入x=1/2，那么原式就=e^[ln(1+1/2)+ln(1+1/2^2)+……+ln(1+1/2^n)].当然只是思路而已，计算过程相当复杂
回答者：曙光社 - 举人四级 12-16 11:46
趋向于2
回答者：SANNY_TAN - 助理二级 12-19 11:15
2.3842......
回答者：刘峰18 - 试用期一级 12-19 13:00
2
回答者：暮问昭 - 初入江湖二级 12-20 22:11
有些符号不好敲出来，我就用语言描述吧
原式通项为（1+2^-i)，求其i 从1到n项积
取对数e^ln(1+2^-i),e的指数即可变为通项为ln(1+2^-i)
i从1到n之和。
现在可用定积分定义求：先只看指数部分，可表示为
n倍的积分限为0——1的ln(1+2^-nx)dx,这个积分直接求不出来，用积分中值定理令其=ln(1+2^-n&),0<&<1
此时，所求为e^（（ln(1+2^-n&)）/(1/n)）,此时1/2<2^-&<1,其n次方，当n趋于无穷大时就趋于0，所以指数是“0除0型”可用洛必达求得，指数为n/2^&n,为0。（1<2^&<2). 所以原式极限为1。
有错吗？
回答者：moramomo - 助理三级 12-21 10:56
这题似乎很难用初等方法解，就提供一个思路吧
令f(x)=(1+x)(1+x^2)……(1+x^n) (-1lnf(x)=ln(1+x)+ln(1+x^2)+……+ln(1+x^n)
把每一项展开成无穷级数，再把次数相同的项合并，代入x=1/2，那么原式就=e^[ln(1+1/2)+ln(1+1/2^2)+……+ln(1+1/2^n)].当然只是思路而已，计算过程相当复杂
有些符号不好敲出来，我就用语言描述吧
原式通项为（1+2^-i)，求其i 从1到n项积
取对数e^ln(1+2^-i),e的指数即可变为通项为ln(1+2^-i)
i从1到n之和。
现在可用定积分定义求：先只看指数部分，可表示为
n倍的积分限为0——1的ln(1+2^-nx)dx,这个积分直接求不出来，用积分中值定理令其=ln(1+2^-n&),0<&<1
此时，所求为e^（（ln(1+2^-n&)）/(1/n)）,此时1/2<2^-&<1,其n次方，当n趋于无穷大时就趋于0，所以指数是“0除0型”可用洛必达求得，指数为n/2^&n,为0。（1<2^&<2). 所以原式极限为1。
有错吗？
(1+1/2)(1+1/4)(1+1/8)...(1+1/2^n)
=(1-1/2)(1+1/2)(1+1/4)(1+1/8)...(1+1/2^n)/(1-1/2)
=[1-1/2^(n+1)]/(1-1/2)
lim(n→∞)[1-1/2^(n+1)]/(1-1/2)
=2

收起

（1＋1/2^n）中1/2^n的极限是0，那么整个式子的极限就是1＋0＝1
可能不是很正确，谅解一下，我才10岁！高等数学自学的！
补充：
lim(1+1/2^n)=lim1+lim1/2^n=1+0=1
这就是大概的式子了
对了，你指的式子是(1/2)^n还是1/(2^n)？

楼上的看一下(1/2)^n和1/(2^n）是相等的！
这题比较难，要用夹逼准则。
由于指数比较难打，函数也难打，在这里就不多说了。答案是e=2.718281828459045......

不知道你的题目从哪来的,但仅靠手算是算不出来,我建议你最好还是问一下大学的教授,我想得到的答案回一样
这条题目没有确切的答案，作为一个数列无穷项积的极限，当N无限趋向
可以根据电脑模拟求取结果的近视值，但想要用一些大学的高数知识求出确切结果是不可能的...

全部展开

不知道你的题目从哪来的,但仅靠手算是算不出来,我建议你最好还是问一下大学的教授,我想得到的答案回一样
这条题目没有确切的答案，作为一个数列无穷项积的极限，当N无限趋向
可以根据电脑模拟求取结果的近视值，但想要用一些大学的高数知识求出确切结果是不可能的

收起

"这条题目没有确切的答案"。即便是这个说法也要给出充足的理由。
我也相信这个结果可能跟 Pi 一样无法用我们已知的初等函数的值的形式来表示。
虽然如此，但我们总可以用一种更直观的形式来说明这个结果为什么是表示不出来的吧？这才是做题的学问。...

全部展开

"这条题目没有确切的答案"。即便是这个说法也要给出充足的理由。
我也相信这个结果可能跟 Pi 一样无法用我们已知的初等函数的值的形式来表示。
虽然如此，但我们总可以用一种更直观的形式来说明这个结果为什么是表示不出来的吧？这才是做题的学问。

收起

无穷无穷，还是无穷！

做了半天，没做出来，但楼上好象没有对的。

别告诉我考研要考这个无穷级数这章猫腻贼多好难受啊啊啊