证不等式 只需证第三题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 13:47:33
证不等式只需证第三题证不等式只需证第三题证不等式只需证第三题考虑证明ln(n+1)-lnn即ln(1+1/n)所以证明ln(1+x)0)即x^2+x-ln(x+1)>0令g(x)=x^2+x-ln(x
证不等式 只需证第三题
证不等式 只需证第三题
证不等式 只需证第三题
考虑证明ln(n+1)-lnn<(n+1)/n^2
即ln(1+1/n)<1/n+1/n^2
所以证明ln(1+x)
即x^2+x-ln(x+1)>0
令g(x)=x^2+x-ln(x+1)
所以g'(x)=2x+1-1/(x+1)=(2x^2+3x)/(x+1)>0
g(0)=0
所以g(x)>0
所以ln(n+1)-lnn<(n+1)/n^2
所以2+3/2^2+...+(n+1)/n^2>ln(n+1)-ln1=ln(n+1)
2/1+3/2^2+4/3^2+……+n+1/n^2>ln(n+1)
证明：
先证明不等式：当x＞0时ln(x+1)＜x
令f(x)=x-ln(x+1)，则
f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)＞0，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，
于是f(x)＞f(0)=0，即
当x＞0时ln(x+1)＜x
在不等式中取x为1/...
全部展开
2/1+3/2^2+4/3^2+……+n+1/n^2>ln(n+1)
证明：
先证明不等式：当x＞0时ln(x+1)＜x
令f(x)=x-ln(x+1)，则
f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)＞0，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，
于是f(x)＞f(0)=0，即
当x＞0时ln(x+1)＜x
在不等式中取x为1/n，有当1/n＞0时ln(1/n+1)＜1/n，即
n＞0时1/n＞ln(n+1)-lnn
所以2/1^2+3/2^2+……+(n+1)/n^2＞1/1^2+2/2^2+...+n/n^2=1+1/2+...+1/n＞ln2-ln1+ln3-ln2+...+ln(n+1)-lnn=ln(n+1)-ln1=ln(n+1)
原不等式得证
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