矩形ABCD中,AB=8,AD=6,角ABD和角ADB的角平分线交于E,EF垂直BC,EG垂直CD,垂足分别为F,G,则矩形EFCG面积?很急,十万火急!谢谢!我一直在线!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 11:22:58
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过E点向AD作垂线,交点为M,则EM为△ABD内切圆半径r,依据直角三角形内心的性质r=（AB+AD-BD)/2=（6+8-10）/2=2,
即EM=2=DG,则CG=6
由tan∠ADB=tan2∠BDE=4/3,可算出tan∠BDE=1/2,且易算出tan∠BDC=3/4,
所以可算出tan∠EDG=tan(∠EDB+∠BDC)=2
而tan∠EDG=EG/DG =EG/2,所以EG=4
所以矩形EFCG的面积=EG×CG=4×6=24
设DG=X，BF=Y
则 EF=AB-DG=8-X,EG=AD-BF=6-Y,EF=AB-DG=8-X,EG=AD-BF=6-Y
∵tan∠DBA=AD/AB=6/8=3/4
又BE平分∠DBA，EF//AB
∴∠BEF=∠ABE=1/2∠DBA
则 ∠DBA=2∠BEF
从而 tan∠DBA=tan(...
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设DG=X，BF=Y
则 EF=AB-DG=8-X,EG=AD-BF=6-Y,EF=AB-DG=8-X,EG=AD-BF=6-Y
∵tan∠DBA=AD/AB=6/8=3/4
又BE平分∠DBA，EF//AB
∴∠BEF=∠ABE=1/2∠DBA
则 ∠DBA=2∠BEF
从而 tan∠DBA=tan(2∠BEF)=2tan(∠BEF)/(1-(tan(∠BEF))^2)
3/4=2tan(∠BEF)/(1-(tan(∠BEF))^2)
化简，得 (3tan(∠BEF)-1)(tan(∠BEF)+3)=0
∴ tan(∠BEF)=1/3, ①
或 tan(∠BEF)=-3(不合题意，舍去)
∵tan∠ADB=AB/AD=8/6=4/3
又DE平分∠ADB，EG//AD
∴∠GED=∠ADE=1/2∠ADB
则 ∠ADB=2∠GED
从而 tan∠ADB=tan(2∠GED)=2tan(∠GED)/(1-(tan(∠GED))^2)
3/4=2tan(∠GED)/(1-(tan(∠GED))^2)
化简，得 (2tan(∠GED)-1)(tan(∠GED)+2)=0
∴ tan(∠GED)=1/2, ②
或 tan(∠GED)=-2(不合题意，舍去)
又 tan(∠BEF)=BF/EF=Y/(8-X) ③
tan(∠GED)=DG/EG=X/(6-Y) ④
由①②③④得 1/3=Y/(8-X) ⑤
1/2=X/(6-Y) ⑥
由⑤得X=8-3Y 代入⑥得 1/2=(8-3Y)/((6-Y))
6-Y=16-6Y
5Y=10
∴Y=2
从而 X=8-3Y=8-3*2=2
则 EF=8-X=8-2=6,EG=6-Y=6-2=4
∴矩形EFCG面积=EF*EG=6*4=24.
收起
24