为什么球的表面积（4πR^2）正好是球体积（4/3 πR^3）的导数?包括圆的周长（2πR）也正好是圆的面积（πR^2）的导数偶然发现有这条规律在里面,

为什么球的表面积（4πR^2）正好是球体积（4/3 πR^3）的导数?包括圆的周长（2πR）也正好是圆的面积（πR^2）的导数偶然发现有这条规律在里面,
为什么球的表面积（4πR^2）正好是球体积（4/3 πR^3）的导数?
包括圆的周长（2πR）也正好是圆的面积（πR^2）的导数
偶然发现有这条规律在里面,

为什么球的表面积（4πR^2）正好是球体积（4/3 πR^3）的导数?包括圆的周长（2πR）也正好是圆的面积（πR^2）的导数偶然发现有这条规律在里面,
证明：先就圆的周长（2πR）也正好是圆的面积（πR^2）的关于R导数证明.
设有一个圆的半径为R,另一个与它同心的圆的半径为R+△R.
先看两个同心圆组成的圆带,它的面积是π(R+△R)^2-πR^2.当△R相当小时,该圆带近似为宽为△R的长方形条,其长度近似(π(R+△R)^2-πR^2)/△R.对△R求极限.lim(π(R+△R)^2-πR^2)/△R就是半径为R的圆的周长.
而：lim(π(R+△R)^2-πR^2)/△R=πR^2对R的导数=2πR.
关于体积也可以像上面一样类似的证明,不过换成同心球体就可以了.
受你的启发,如果把正方形的半边长当成半径（即正方形的中心到每边的距离）.那么这个发现对正方形、正方体对成立.

要想知道原因，可以看看大学高等数学课本里的积分，学了这你就知道原因了

用微积分解释：
n维球的表面积其实就是n-1维球的体积。维数加1后的体积实际上就是对新的一维求积分。
所以求一次导（也就是一次微分）就降一维。

是微积分的原理。你可以想象一下，把一个球体看成是由无数层的不同半径的球面一层层糊起来的，就像是洋葱。这一层层的球面沿着半径方向叠加在一起就形成一个球，也就是面积沿着半径方向积分即为体积。故表面积为体积的倒数。希望能帮到你~~...

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是微积分的原理。你可以想象一下，把一个球体看成是由无数层的不同半径的球面一层层糊起来的，就像是洋葱。这一层层的球面沿着半径方向叠加在一起就形成一个球，也就是面积沿着半径方向积分即为体积。故表面积为体积的倒数。希望能帮到你~~

收起

用微积分微元法的观点看，面积就是线段的积分，体积就是面积的积分。例如球的体积可以看成以圆心为中心，有无数的大小不同的球壳（也就是面积）向外扩展，即面积公式在0到R上以R为积分变量的定积分。