∫1,-1(sinx+2)根号1-x^2dx

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/15 01:54:09
∫1,-1(sinx+2)根号1-x^2dx∫1,-1(sinx+2)根号1-x^2dx∫1,-1(sinx+2)根号1-x^2dx答:(-1→1)∫(sinx+2)√(1-x^2)dx=(-1→1)

∫1,-1(sinx+2)根号1-x^2dx
∫1,-1(sinx+2)根号1-x^2dx

∫1,-1(sinx+2)根号1-x^2dx
答:
(-1→1) ∫ (sinx+2)√(1-x^2) dx
=(-1→1) ∫ sinx√(1-x^2)dx+ (-1→1) ∫ 2√(1-x^2) dx
=0+(-1→1) 2∫ √(1-x^2) dx,设x=sint
=(-π/2→π/2) 2∫ cost d(sint)
=(-π/2→π/2) ∫ (cos2t+1) dt
=(-π/2→π/2) [(1/2)sin2t+t]
=(0+π/2)-(0-π/2)

原式=∫(-1,1)sinx√(1-x²)dx+2∫(-1,1)√(1-x²)dx
第一个被积函数是奇函数,积分限关于原点对称,所以等于0
第二个
y=√(1-x²)
x²+y²=1且y>=0
-1<=x<=1
所以是半个单位圆
外面再乘以2
所以是单位圆的面积
所以原式=π