根号（a1+b1)^2+(a2+b2)^2+.+(an+bn)^2

根号（a1+b1)^2+(a2+b2)^2+.+(an+bn)^2
根号（a1+b1)^2+(a2+b2)^2+.+(an+bn)^2

根号（a1+b1)^2+(a2+b2)^2+.+(an+bn)^2
原不等式为：√[(a1+b1)²+(a2+b2)²+.+(an+bn)²]≤√(a1²+a2²+.an²)+√(b1²+b2²+.bn²)
左右两边非负,且左边根号内的内容也非负,故两边同时平方,原不等式即证：
(a1+b1)²+(a2+b2)²+.+(an+bn)²≤(a1²+a2²+.an²)+(b1²+b2²+.bn²)+2√[(a1²+a2²+.an²)·(b1²+b2²+.bn²)]
即证：
(a1²+a2²+.an²)+(b1²+b2²+.bn²)+(2a1·b1+2a2·b2+…+2an·bn)≤(a1²+a2²+.an²)+(b1²+b2²+.bn²)+2√[(a1²+a2²+.an²)(b1²+b2²+.bn²)]
即证：
(a1·b1+a2·b2+…+an·bn)≤√[(a1²+a2²+.an²)(b1²+b2²+.bn²)]
即证：
(a1·b1+a2·b2+…+an·bn)²≤(a1²+a2²+.an²)(b1²+b2²+.bn²)
根据柯西不等式,上式显然成立.

数学归纳法，好像能证明

左边平方=（a1+b1)^2+(a2+b2)^2+......+(an+bn)^2
=a1^2+a2^2+....an^2+b1^2+b2^2+......bn^2+2倍(a1b1+a2b2....anbn)
右边平方=a1^2+a2^2+....an^2+b1^2+b2^2+......bn^2+2倍根号（a1^2+a2^2+....an^2)*(b1...

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左边平方=（a1+b1)^2+(a2+b2)^2+......+(an+bn)^2
=a1^2+a2^2+....an^2+b1^2+b2^2+......bn^2+2倍(a1b1+a2b2....anbn)
右边平方=a1^2+a2^2+....an^2+b1^2+b2^2+......bn^2+2倍根号（a1^2+a2^2+....an^2)*(b1^2+b2^2+......bn^2）
∴即证：a1b1+a2b2....anbn≤ 根号（a1^2+a2^2+....an^2)*(b1^2+b2^2+......bn^2）
∴即证：(a1b1+a2b2....anbn)^2≤ （a1^2+a2^2+....an^2)*(b1^2+b2^2+......bn^2）
【这是典型的 柯西不等式 显然成立】
柯西不等式的证明如下：
(a12+a22+a32+…+an2)(b12+b22+b32+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)2
当且仅当a1/b1=a2/b2=a3/b3=…=an/bn时等号成立
设n=k时该不等式成立，则有
(a12+a22+a32+…+ak2)(b12+b22+b32+…+bk2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+akbk)2
当且仅当a1/b1=a2/b2=a3/b3=…=ak/bk时等号成立
则当n=k+1时，不等式应为：
(a12+a22+a32+…+ak+12)(b12+b22+b32+…+bk+12)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+ak+1bk+1)2
当且仅当a1/b1=a2/b2=a3/b3=…=ak+1/bk+1时等号成立
此不等式即：
[(a12+a22+a32+…+ak2)+ak+12][(b12+b22+b32+…+bk2)+bk+12]≥[(a1b1+a2b2+a3b3+…+akbk)+ak+1bk+1]2
(a12+a22+a32+…+ak2)(b12+b22+b32+…+bk2)
+ak+12(b12+b22+b32+…+bk2)+bk+12(a12+a22+a32+…+ak2)
+ak+12bk+12≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+akbk)2+ak+12bk+12+2ak+1bk+1(a1b1+a2b2+a3b3+…+akbk)
因为已有
(a12+a22+a32+…+ak+12)(b12+b22+b32+…+bk+12)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+ak+1bk+1)2
所以只须证
ak+12(b12+b22+b32+…+bk2)+bk+12(a12+a22+a32+…+ak2)+ak+12bk+12≥ak+12bk+12+2ak+1bk+1(a1b1+a2b2+a3b3+…+akbk)
即
ak+12(b12+b22+b32+…+bk2)+bk+12(a12+a22+a32+…+ak2)≥2ak+1bk+1(a1b1+a2b2+a3b3+…+akbk)
ak+12b12+ak+12b22+ak+12b32+…+ak+12bk2
+bk+12a12+bk+12a22+bk+12a32+…+bk+12ak2≥2ak+1bk+1a1b1+2ak+1bk+1a2b2+2ak+1bk+1a3b3+…+2ak+1bk+1akbk
ak+12b12+bk+12a12+ak+12b22+bk+12a22+ak+12b32+bk+12a32+…+ak+12bk2+bk+12ak2
≥2(ak+1b1)(bk+1a1)+2(ak+1b2)(bk+1a2)+2(ak+1b3)(bk+1a3)+…+2(ak+1bk)(bk+1ak)
ak+12b12+bk+12a12+ak+12b22+bk+12a22+ak+12b32+bk+12a32+…+ak+12bk2+bk+12ak2
-2(ak+1b1)(bk+1a1)-2(ak+1b2)(bk+1a2)-2(ak+1b3)(bk+1a3)-…-2(ak+1bk)(bk+1ak)≥0
[ak+12b12-2(ak+1b1)(bk+1a1)+bk+12a12]+[ak+12b22-2(ak+1b2)(bk+1a2)+bk+12a22]+…+[ak+12bk2-2(ak+1bk)(bk+1ak)+bk+12ak2]≥0
(ak+1b1-bk+1a1)2+(ak+1b2-bk+1a2)2+…+(ak+1bk-bk+1ak)2≥0
显然，若干实数的平方和一定为非复数
若等号成立，则
ak+1b1-bk+1a1=0
ak+1b2-bk+1a2=0
……
ak+1bk-bk+1ak=0
得a1/b1=a2/b2=a3/b3=…=ak+1/bk+1
所以，若柯西不等式在n=k时成立，在n=k+1时也成立
若n=1，则不等式变为
a12b12≥(a1b1)2
显然成立，所以对于n取的一切正整数，柯西不等式都成立
证明完毕，得：
柯西不等式
(a12+a22+a32+…+an2)(b12+b22+b32+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)2
当且仅当a1/b1=a2/b2=a3/b3=…=an/bn时等号成立

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要证原不等式成立，只需证明（a1+b1)^2+(a2+b2)^2+......+(an+bn)^2<=（a1^2+a2^2+....an^2）+（b1^2+b2^2+......bn^2)+2√（a1^2+a2^2+....an^2）√（b1^2+b2^2+......bn^2），即证a1b1+a2b2+……+anbn≤√（a1^2+a2^2+....an^2）√（b1^2+b2^2+.........

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要证原不等式成立，只需证明（a1+b1)^2+(a2+b2)^2+......+(an+bn)^2<=（a1^2+a2^2+....an^2）+（b1^2+b2^2+......bn^2)+2√（a1^2+a2^2+....an^2）√（b1^2+b2^2+......bn^2），即证a1b1+a2b2+……+anbn≤√（a1^2+a2^2+....an^2）√（b1^2+b2^2+......bn^2）。设x是任意实数，则有（a1+xb1）²+（a2+xb2）²+……+（an+xbn）²≥0。即（b1²+b2²+……bn²）x²+2（a1b1+a2b2+……+anbn）x+（a1²+a2²+……+an²）≥0。由于上式对任意x都成立，所以判别式△=4（a1b1+a2b2+……+anbn）²-4（a1²+a2²+……+an²）（b1²+b2²+……bn²）≤0，即|a1b1+a2b2+……+anbn|≤√（a1²+a2²+……+an²）√（b1²+b2²+……bn²），所以a1b1+a2b2+……+anbn≤√（a1^2+a2^2+....an^2）√（b1^2+b2^2+......bn^2），故原不等式成立。

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