请各位高手解此奥数题在任意的五个自然数中,必能从中选出三个,使得它们的和能被3整除.试证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 11:43:46
请各位高手解此奥数题在任意的五个自然数中,必能从中选出三个,使得它们的和能被3整除.试证明.
请各位高手解此奥数题
在任意的五个自然数中,必能从中选出三个,使得它们的和能被3整除.试证明.
请各位高手解此奥数题在任意的五个自然数中,必能从中选出三个,使得它们的和能被3整除.试证明.
抽屉原理
分三个抽屉：被3整除、被3除余数为1、被3除余数为2.
任意的5个整数放入三个抽屉,
若每个抽屉都有数,则每个抽屉取出1个数,和是3的倍数；
若有抽屉没有数,则必有一个抽屉至少有3个数,同一抽屉取出3个数,和是3的倍数.
答案:一个数被3除的余数是0,1,2.
(1)如果这5个数被3除余数0,1,2都有,则这3个数和能被3整除.
(2)如果这5个数被3除余数最多出现2个,则相当于5个苹果装进2个抽屉,必有1个抽屉中装有3个或更多苹果,即至少有3个数余数相同,则这3个数的和能被3整除.
有疑问看看这个解释：
一个自然数除以3的余数可能是0、1、2，共三种可能。
根据抽屉原理，...
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答案:一个数被3除的余数是0,1,2.
(1)如果这5个数被3除余数0,1,2都有,则这3个数和能被3整除.
(2)如果这5个数被3除余数最多出现2个,则相当于5个苹果装进2个抽屉,必有1个抽屉中装有3个或更多苹果,即至少有3个数余数相同,则这3个数的和能被3整除.
有疑问看看这个解释：
一个自然数除以3的余数可能是0、1、2，共三种可能。
根据抽屉原理，任取5个自然数，至少有三个自然数除以3余数相同或者是0,1,2，这三个数的和就是3的倍数
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因为任意一个自然数都能写成这样三种形式中得一种（3k,3k+1,3k+2)
(1)如果这5个自然数是这三种得1种形式，显然是能选三个使得它们的和能被3整除
（2）如果这5个自然数是这三种得2种形式，那么一定有一种形式至少是3个同类型得，显然是能选这三个同类型使得它们的和能被3整除
（3）如果这5个自然数是这三种得3种形式，那么就可以选这3个类型中每选一个能使得它们的和能被3...
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因为任意一个自然数都能写成这样三种形式中得一种（3k,3k+1,3k+2)
(1)如果这5个自然数是这三种得1种形式，显然是能选三个使得它们的和能被3整除
（2）如果这5个自然数是这三种得2种形式，那么一定有一种形式至少是3个同类型得，显然是能选这三个同类型使得它们的和能被3整除
（3）如果这5个自然数是这三种得3种形式，那么就可以选这3个类型中每选一个能使得它们的和能被3整除
综合上述，命题为真，得证。
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任务的。。别骂
证明如下：
假设有任意五个自然数，可以知道任意的五个自然数，分别都是3N、3K+1、3T+2（其中，N、K、T都是正整数）三种情形的自然数。
任意的五个自然数，分别有以下两种情形：
①有三个以上的上述3N、3K+1、3T+2，三者之一的具备同一数形的数时，
必然能选出三个同一数形的三数之和能被3整除。
②有两个是同一数形时，
则：必然出现“2、2、1...
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证明如下：
假设有任意五个自然数，可以知道任意的五个自然数，分别都是3N、3K+1、3T+2（其中，N、K、T都是正整数）三种情形的自然数。
任意的五个自然数，分别有以下两种情形：
①有三个以上的上述3N、3K+1、3T+2，三者之一的具备同一数形的数时，
必然能选出三个同一数形的三数之和能被3整除。
②有两个是同一数形时，
则：必然出现“2、2、1”情形，即3N、3K+1、3T+2都出现。
可以知道，3N、3K+1、3T+2三数之和能被3整除
综上所述，在任意的五个自然数中，必能从中选出三个，使得它们的和能被3整除。
（注明：楼上的“抽屉原理”证明，也非常漂亮！）
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