a(n+1)=(an^2+1)/(2an+1) 这个数列怎么求?还要证An大于0.618
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 21:01:36
a(n+1)=(an^2+1)/(2an+1) 这个数列怎么求?还要证An大于0.618
a(n+1)=(an^2+1)/(2an+1) 这个数列怎么求?
还要证An大于0.618
a(n+1)=(an^2+1)/(2an+1) 这个数列怎么求?还要证An大于0.618
记住吧,分子是二次的分式递推（已经进行线性变换简化后）
只有a=(a^2-pq)/(2a-p-q)
是有解的
p、q是令a=a后得到的两根（不动点）
这个-qp=1,p+q=-1
即x^2-(p+q)x+pq=0
x^2+x-1=0的两根
p=(√5-1)/2,q=(-√5-1)/2
(a-p)/(a-q)代入递推式
=[a-(√5-1)/2]^2/[a-(-√5-1)/2]^2=[(a-p)/(a-q)]^2
注意(a-p)/(a-q)>0,即(a-p)/(a-q)>0从第二项起恒成立,第一项不一定
即ln[(a-p)/(a-q)]=2ln[(a-p)/(a-q)]
所以{ln[(a-p)/(a-q]}是公比为2的等比数列
ln[(a-p)/(a-q)]=ln[(a-p)/(a-q)]*2^(n-2)
（因为第一项不一定使之大于0,但第二项一定大于0,所以取第二项为初值.）
=ln{[(a-p)/(a-q)]^2^(n-2)}
但是这里第一项
所以(a-p)/(a-q)=[(a-p)/(a-q)]^2^(n-2)
由于你没告诉初值a,所以记(a-p)/(a-q)=C,为任意大于0的常数
解出n>1时,
a=[p-qC^2^(n-2)]/[1-C^2^(n-2)],这个式子已经非常容易说明
a > 0.618=(√5-1)/2了,LZ自己说明吧
其实这个题用不着求通项公式,因为很多递推公式是求不出通项公式的
高中的递推证明题一般只有3个思路
1.单调有界原理证明数列极限存在,然后解出不动点（可能为极限,讨论范围后舍去多余不动点）,则极限就是其精确边界.
2.压缩映射原理证明数列极限存在,然后解出不动点（可能为极限,讨论范围后舍去多余不动点）,则极限就是其精确边界.
正如此题需要证明的,精确边界0.618=(√5-1)/2实际上就是其极限
关于为何不动点可能是其极限,如果你已经证明了数列有极限,那么直接递推公式等式两边同时取极限,则lim a=lim a=x,x就是其不动点,通过范围讨论舍去一个解,剩下的就是极限.
3.如果是证明范围
不管题目是已经给出范围叫你证明还是没给范围叫你求,不管给出的范围是精确范围还是粗略范围.
先算出不动点,大致判断哪个是极限x,然后直接a-x,代入递推公式
比如这题,直接用a-(√5-1)/2,代入递推,可以放缩得到一个类似等比数列的式子,然后等比数列最终趋于0,所以可以证明.这样求得的范围是精确范围,如果是证明粗略范围岂不是更简单?
4.解出通项公式
前3种思维难度较大,最后一种计算量大,如果思路不行就算出来,但有些是算不出来的,故推荐使用第三种解法.