这道题是第六大题的第2个,但是要求的方法是球面坐标的方法,不能使用柱面坐标计算的方式.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 22:12:35
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分析：
要使用球面坐标,难点是确定φ的积分限,需要找到一个圆锥面.两个球面的交线方程整理后是z=R/2,x^2+y^2=3R^2/4,以此曲线围成的圆为底面,顶点为坐标原点,z轴为对称轴的圆锥面的顶角的一半是π/3,所以圆锥面的球面坐标方程是φ=π/3.
这个圆锥面把整个区域分为上下两部分,其中φ的范围分别是0到/3,与π/3到π/2.自己作图看看.
解题过程是：
∫∫∫z^2dxdydz=∫(0到2π) dθ ∫(0到π/3) dφ ∫(0到R) (rcosφ)2×r^2sinφ dr＋∫(0到2π) dθ ∫(π/3到π/2) dφ ∫(0到2Rcosφ) (rcosφ)2×r^2sinφ dr=59πR^5/480.
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附带说一句,如果不限定方法,这个题目用直角坐标做是最简单的,选择先对x,y再对z积分的顺序.
∫∫∫z^2dxdydz=∫(0到R/2) z^2dz ∫∫(D1) dxdy＋∫(R/2到R) z^2dz ∫∫(D2) dxdy,其中D1:x^2+y^2≤2Rz-z^2,D2:x^2+y^2≤R^2-z^2.
=∫(0到R/2) z^2×π×(2Rz-z^2) dz＋∫(R/2到R) z^2×π×(R^2-z^2) dz
=59πR^5/480