小亮学了“圆锥体积公式”后,产生了这样的疑问：“等底等高的圆柱和圆锥可以分别看作长方形和直角三角形绕一条边旋转而成（如下图）,这里的直角三角形的面积显然是长方形面积的1/2,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 22:09:34
小亮学了“圆锥体积公式”后,产生了这样的疑问：“等底等高的圆柱和圆锥可以分别看作长方形和直角三角形绕一条边旋转而成（如下图）,这里的直角三角形的面积显然是长方形面积的1/2,
小亮学了“圆锥体积公式”后,产生了这样的疑问：“等底等高的圆柱和圆锥可以分别看作长方形和直角三角形绕一条边旋转而成（如下图）,这里的直角三角形的面积显然是长方形面积的1/2,旋转之后体积之间的倍数关系为什么不是1/2,而是
1/3了呢?”请你帮小亮解除这个疑问.
小亮学了“圆锥体积公式”后,产生了这样的疑问：“等底等高的圆柱和圆锥可以分别看作长方形和直角三角形绕一条边旋转而成（如下图）,这里的直角三角形的面积显然是长方形面积的1/2,
这是证明的过程：
证明：
把圆锥沿高分成k分 每份高 h/k,
第 n份半径：n*r/k
第 n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2
第 n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3 因为 1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
所以
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3 =pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
因为当n越来越大,总体积越接近于圆锥体积,1/k越接近于0
所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
因为V柱=pi*h*r^2
所以 V锥是与它等底等高的V柱体积的1/3
仿照这个题目的做法：
一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3分米和2分米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了120平方分米，原长方体的体积是多少立方分米?
由题意知，表面积减少120平方分米。
这120平方厘米是截去的高为(3+2)分米，底面为原正方体的长方体的侧面。
此侧面÷(3+2) = 正方体的周长，即120÷(3+2)=正方...
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仿照这个题目的做法：
一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3分米和2分米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了120平方分米，原长方体的体积是多少立方分米?
由题意知，表面积减少120平方分米。
这120平方厘米是截去的高为(3+2)分米，底面为原正方体的长方体的侧面。
此侧面÷(3+2) = 正方体的周长，即120÷(3+2)=正方形的周长。
由此可求得正方形的边长，从而求得原长方体的体积。
120÷(3+2)÷4=120÷5÷4=6(分米)
6×6×(3 + 6 + 2) ＝ 36×11=396(立方分米)
答：原来长方体的体积是396立方分米。
收起
等底等高的圆锥是圆柱的三分之一