凸四边形ABCD内接与一圆,另有一圆心在AB边上与其他三边相切的圆,求证AD+BC=AB
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 13:31:02
凸四边形ABCD内接与一圆,另有一圆心在AB边上与其他三边相切的圆,求证AD+BC=AB
凸四边形ABCD内接与一圆,另有一圆心在AB边上与其他三边相切的圆,求证AD+BC=AB
凸四边形ABCD内接与一圆,另有一圆心在AB边上与其他三边相切的圆,求证AD+BC=AB
二楼证了一半
证明：【点击图片放大】
连接OE、OF、OH、OC、OD,过圆O上一点H'作一条
平行于AB的切线C'D'交AD、BC所在的直线于点C'、D',
连接OH'、OC'、OD'
第①步：
首先证明：AD+BC=AC'+BD'
∵四边形ABCD内接于一个圆
∴∠BCD+∠A=180°,∠ADC+∠B=180°
∵C'D'‖AB
∴∠AC'D'+∠A=180°,∠BD'C'+∠B=180°
∴∠BCD=∠AC'D',∠ADC=∠BD'C'
∵C'H'与C'E都切于圆O
利用对称性可知：C'O平分∠AC'D'
同理：CO平分∠BCD
∴∠AC'O=∠AC'D'/2=∠BCD/2=∠BCO
又∵∠OEC'=∠CFO=90°,OE=OF=R
∴△C'OE≌△COF【图中两红色三角形】
同理可证：△DOH≌△D'OH'【图中两蓝色三角形】
∴DE=DH=D'H'=D'F,CF=C'E
∴AD+BC=(AE+DE)+(BF+CF)=(AE+CF)+(BF+DE)
=(AE+C'E)+(BF+D'F)=AC'+BD'
第②步：
只需证明：AB=AC'+BD'
显然∠AOC'=∠OC'D'=∠OC'A
∴AC'=AO
同理可得：BD'=BO
∴AC'+BD'=AO+BO=AB
综合①②两步证明可得：
AD+BC=AB
证毕!
我记得这是全国联赛的到选择题，题中有AB‖CD的条件
证明：
连接DO，CO
∵AB‖CD
∴∠CDO=∠AOD
∵DA，DC是⊙O的切线
∴∠ADO=∠CDO
∴∠AOD=∠ADO
∴AD=AO
同理可得BO=BC
∴AD+BC=AB
这题不简单，第二十六届IMO第一题
等着，我来做