设9|a^2+b^2+ab,证明3|a,3|b根据公式a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),可以得证.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 13:40:08
设9|a^2+b^2+ab,证明3|a,3|b根据公式a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),可以得证.
设9|a^2+b^2+ab,证明3|a,3|b
根据公式a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),可以得证.
设9|a^2+b^2+ab,证明3|a,3|b根据公式a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),可以得证.
不知道是不是最简单的方法
首先因为9|(a^2+ab+b^2),a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),所以(a^2+ab+b^2)|(a^3-b^3),
所以9|(a^3-b^3),所以有3|(a^3-b^3),注意对于3的所有模来说,有(-1)^3=(-1) (mod 3)
0^3=0(mod 3),1^3=1(mod 3),所以a与b必定关于3同余,下面只要对三种情况检验即可
(1) a=b=0 (mod 3) 则有9|a^2,9|b^2,9|ab,所以9|(a^2+ab+b^2) 满足题意
(2) a=b=1 (mod 3) 不妨设a=3s+1,b=3t+1,从而(a^2+b^2+ab)=9(s^2+t^2+st+s+t)+3,9不整除a^2+ab+b^2 矛盾
(3) a=b=-1 (mod 3) 不妨设a=3s-1,b=3t-1,从而有(a^2+b^2+ab)=9(s^2+t^2+st-s-t)+3,同样9不整除a^2+b^2+a 矛盾
从而只能有a=b=0(mod 3) 即3|a,3|b
a+b+c=1
(a+b+c)^2=1^2
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1
所以
ab+ac+bc=（1-3）/2=-1
a＞b＞c
如果c≥0那么
a＞b＞c≥0
有ab＞0，ac≥0，bc≥0
ab+ac+bc＞0，与前面的结果不符
所以假设不成立所c＜0，符号为负
a＞b
有2...
全部展开
a+b+c=1
(a+b+c)^2=1^2
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1
所以
ab+ac+bc=（1-3）/2=-1
a＞b＞c
如果c≥0那么
a＞b＞c≥0
有ab＞0，ac≥0，bc≥0
ab+ac+bc＞0，与前面的结果不符
所以假设不成立所c＜0，符号为负
a＞b
有2a＞a+b=1-c
c＜0
所以1-c＞1
也就是
2a＞a+b=1-c＞1
2a＞1
所以
a＞1/2
收起
必须是a=b(mod3)
若a=b=1(mod3)则设a=3p+1,b=3q+1
a^2+b^2+ab=9m+3
显然不被9整除，用同样方法，可证a=b=-1时条件不成立
故a=b=0(mod3)