平面凸多边形的边线和对角线至多可把平面分成多少个区域?至多可把平面凸多边形内部分成多少个区域?有答案,求过程啊.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 21:59:01
平面凸多边形的边线和对角线至多可把平面分成多少个区域?至多可把平面凸多边形内部分成多少个区域?有答案,求过程啊.
平面凸多边形的边线和对角线至多可把平面分成多少个区域?至多可把平面凸多边形内部分成多少个区域?
有答案,求过程啊.
平面凸多边形的边线和对角线至多可把平面分成多少个区域?至多可把平面凸多边形内部分成多少个区域?有答案,求过程啊.
凸n边形的内部被划分为区域数最多是：
(1)n^2(n-3)^2/8+n(n-3)(9-2n)/4+1 (3=6)
整个平面则是上述答案分别+1即可!
详细推导过程请参阅我的文库“讨论直线划分平面的问题与凸多边形的边线及其对角线划分平面问题”以下摘录部分关键步骤如下：
一个更简单的方法是这样的.假设我们把凸多边形无限放大（想象要多大有多大）,则问题就变成了直线划分平面的问题了,只是这些直线（多边形的对角线）并非全部两两都相交和存在多（>=2）条直线交于同一个顶点而已.那么怎样才能使划分出的区域最多呢?就是在凸多边形的内部,不存在>=3条的对角线交于同一点的时候则划分出的内部区域数最多!此时,所划分出的区域数就相当于直线划分平面区域的最多数排除掉因了多条对角线交于同一个顶点而使划分出的区域减少的个数和因了存在对角线对在凸多边形的内部不相交而使得划分的区域减少的个数,即：
划分凸多边形内部区域最多数=直线（对角线）划分平面最多数-因了多条对角线交于同一个顶点而使划分出的区域减少的个数-因了存在对角线对在凸多边形的内部不相交而使得划分的区域减少的个数.记上式为max=max1-s1-s2
所以,我们首先必须明白的几个问题是：
（1）凸n边形的对角线的条数k=n(n-3)/2;(可用两种方法证明,其中一种增边构造法)
（2）直线（对角线）划分平面最多数即为上述第一个问题,结果由直线的条数（对角线的条数k）确定max1=(k^2+k+2)/2;
（3）因了多条对角线交于同一个顶点而使划分出的区域减少的个数(n>=3)
在凸多边形的内部（是一个非欧几何空间）,由于（>=2）多条直线（对角线）交于同一个顶点划分出的区域个数比由直线两两相交而没有任何大于等于3条的直线交于同一点所划分出的区域个数减少的个数为：
s1={[（n-3）^2+(n-3)+2]/2-(n-3+1)}•n(此n表示顶点个数)
例如：n=4,5时,对角线交于顶点处划分凸多边形内部区域比直线划分平面区域数减少的个数情况如下图：（其中n表示多边形边数,k为 凸n边形对应的对角线条数）
（4）因了存在对角线对在凸多边形的内部不相交而使得划分的区域减少的个数
首先我们知道一组平行（永不相交）的直线划分平面区域是3个比一组相交直线划分平面的区域数4少1,结论用到凸多边形的内部（非欧空间）同样适用,只是这里的“平行”是非欧几何意义下的平行而已.于是问题的关键就在于求在凸多边形内部中“平行”（不相交）的对角线对的个数了.
结论：当n>=6时,在凸多边形内部中“平行”（不相交）的对角线对的个数为：
s2=n/2•∑（6->n）[1+(i-3)(i-6)/2]
参考链接需要的话另附!