微元法求绳的张力
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 22:27:25
微元法求绳的张力
微元法求绳的张力
微元法求绳的张力
我来回答你把,虽然之有15分...
先看绳子微元的受力分析图,这是个空间上的受力分析
为了方便画图,我取最右边一小段（红色）的绳子作为微元
受力分析：
紫色：来自球面的支持力,这个力垂直于球面,所以从球心发出
红色：绳微元的重力
蓝色：身子由于拉升产生的绳内张力,大小由虎克定律决定,和绳子的总长度变化相关
想求弹力常数K,又已经知道绳子的伸长,因此必须知道弹力大小
弹力的大小,由空间力的平衡来求,在弹力这个平面上,也就是顶端圆面上,只有支持力N的分力,而大小位置,因此需要先求出N的大小,N的大小可以通过重力方向上的力学平衡得出,重力已知,因此可以求解
解题步骤：
1,在重力方向列力的平衡,有 mg = Ncosa
m为绳的微元质量,角a的大小可以通过几何关系求出 ：
sin a = 圆截面半径/球半径 = b/R = 二分之根号二
所以 a = 45度,因此 N = mg/cos45 = √2 mg,
N在圆截面上的投影大小为 Nsina =mg
2,在圆截面方向列力的平衡：
设绳微元的张力为F,从顶端俯瞰截面圆,再来个图：
力的平衡给出
2F sinb = N sina = mg
注意m是微元绳子的质量,因此m = (2b/2pi)*M
所以有 F = (b/sinb) Mg/pi
同时,有 F = k Δl = k * 2pi *(b-a) = k*pi*(√2-1)R
于是得到 k = F/[pi*(√2-1)R],代入 F = (b/sinb) Mg/pi
得到 k = (b/sinb) * Mg/(2*pi平方) / [(√2-1)R]
注意,由于是绳的微元,因此b无穷小
b/sinb 这个表达式在b ->0的时候,极限为1
同时把 带根号的分母有理化,上下同时乘以√2+1)
得到最后的结果
k = Mg/(R*pi平方) * (√2+1)/2
有问题可以来追问~
由题意 设微元质量ΔM 当绳套在球上时 ① ΔM=M/(2πb) 由于绳在球上静止所以合外力为0 球对绳（ΔM）的支持力与重力的合力等于 ΔM在该点受到弹力的合力。它们的合力都作用在绳子围成的平面上且方向相反。 设支持力与重力的合力 F ② F=ΔMgb/{√[(R^2)-(b^2)]} 设该点受到弹力F1 （由于在任意一点都会受到两个拉力所以F1不用除以2） ③ F1=F/sinΔθ Δθ是由一个点，到连线的下一个点之间的夹角。 ④ Δθ=2π /（2πb）=1/b 由于Δθ非常小，因此sinΔθ≈Δθ=1/b 由微元法可知，一个个细小的ΔM就是一个小弹簧，当多个弹簧串联时 ，每一个弹簧所受的力是相等的。 由 F1=KX有 ⑤ F1=2πK(b-a)=KπR(√2-1) 由①代入②后得到F再代入③得到F1 再由5得K=Mg/[(2π^2)*R*(√2-1)] 化简得K=[Mg(√2+1)]/[(2π^2)*R]
