问四道较难的初二几何奥数题,1.如图①,∠ACB=90°,AC=BC,P,Q在斜边上,且∠PCQ=45°,求证：PQ²=AP²+BQ².2.如图②所示,P为等边△ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.3.如图③,D,E是△ABC内,求
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 09:23:44
问四道较难的初二几何奥数题,1.如图①,∠ACB=90°,AC=BC,P,Q在斜边上,且∠PCQ=45°,求证：PQ²=AP²+BQ².2.如图②所示,P为等边△ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.3.如图③,D,E是△ABC内,求
问四道较难的初二几何奥数题,
1.如图①,∠ACB=90°,AC=BC,P,Q在斜边上,且∠PCQ=45°,求证：PQ²=AP²+BQ².
2.如图②所示,P为等边△ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.
3.如图③,D,E是△ABC内,求证AB+AC＞BD+DE+EC.
4.如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.如图8①所示,矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然,当△ABC是钝角三角形时,其“友好矩形”只有一个 .
(1) 仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
(2) 如图8②,若△ABC为直角三角形,且∠C=90°,在图8②中画出△ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小；
(3) 若△ABC是锐角三角形,且BC>AC>AB,在图8③中画出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形并加以证明.
问四道较难的初二几何奥数题,1.如图①,∠ACB=90°,AC=BC,P,Q在斜边上,且∠PCQ=45°,求证：PQ²=AP²+BQ².2.如图②所示,P为等边△ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.3.如图③,D,E是△ABC内,求
1.在∠PCQ里做∠PCM=∠ACP,CM=AC,连接DM,QM.
∵在△ACP与△MCP中,CM=AC,∠ACP=∠MCP,CP=CP
∴△ACP≌△MCP(ASA)
∴AP=PM,∠A=∠PMC
∵∠ACB=90°,AC=BC
∴∠A=∠B=45°,CM=BC,∠A+∠B=90°
∴∠QCM=45°-∠PCM,∠QCB=90°-∠PCQ-∠ACP=45°-∠ACP
∴∠QCM=∠QCB
∵在△QCM与△QCB中,MC=BC,∠QCM=∠QCB,CQ=CQ
∴△QCM≌QCB（SAS）
∴MQ=BQ,∠B=∠QMC
∴∠A+∠B=∠PMC+∠QMC=90°=∠PMQ
∴PM的平方+MQ的平方=PQ的平方
∴PQ的平方=AP的平方+BQ的平方
2.将△APB顺时针旋转60°至△BP1C,连接PP1
∴△APB≌△BP1C,∠PBP1=60°
∴P1C=AP=3,PB=BP1=4,∠APB=∠BP1C
∵∠PBP1=60°,BP=BP1
∴△PBP1为等边三角形
∴PP1=BP1=4,∠PP1B=60°
∵PP1的平方+PP1C的平方=3的平方+4的平方=5的平方=PC的平方
∴△PP1C为Rt△,∠PP1C=90°
∵∠PP1B=60°,∠PP1C=90°
∴∠PP1B+∠PP1C=60°+90°=150°=∠BP1C
∴∠APB=150°
3.延长DE交AC于N,反向延长DE交AB于M
利用三角形两边之和大于第三边,得：
AM+AN＞MD+DE+EN,MB+MD＞DB,EN+NC＞EC
把上面的三式相加得：AB+AC＞BD+DE+EC
4.(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形.
(2) 此时共有2个友好矩形,BCAD、ABEF.
(3) 此时共有3个友好矩形,BCDE、CAFG及ABHK,其中的矩形ABHK的周长最小.
证明过程省略.