边长为2a的正方形,以某一顶点做圆心,扇形角度为60°,半径为2,求阴影部分面积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 18:58:12
边长为2a的正方形,以某一顶点做圆心,扇形角度为60°,半径为2,求阴影部分面积
边长为2a的正方形,以某一顶点做圆心,扇形角度为60°,半径为2,求阴影部分面积
边长为2a的正方形,以某一顶点做圆心,扇形角度为60°,半径为2,求阴影部分面积
边长是2还是2a?如果是2a,那么如果a大于1,就没有阴影了.如果a小于1大于 （√2）/2 那么A点不在扇形内,这种估计比较难求.
假设不是以上两种情况,∠ECF等于60°,那么∠ECB+∠FCD = 30°.
扇形面积易得,(π*2*2)/6 = (2/3)π；
AD与CF交点为H,AB与EC交点为G.连接AC,得到三角形ACG与ACH.
问题转化为求两个三角形面积.而两个三角形的高都是知道的,2a.
两个三角形面积为：AH*2a/2+AG*2a/2 = (AH+AG)*a
那么就是求底了,也就是要求AH和AG的和,AH+AG.
然后,再反过来,AH = AD - DH.那么,就是求DH和BG的和了.
AH+AG = (AD -DH)+(AB-BG) = AD+AB - (DH+BG) = 2a - (DH+BG).
问题又转化为求DH+BG了.
RT DCH里面,DH / DC = tan∠HCD = tan∠FCD.DH = DC*tan∠FCD = 2a*tan∠FCD
RT BCG里面,BG / BC = tan∠GCB = tan∠ECB.BG = BC*tan∠ECB = 2a*tan∠ECB
然后,奇迹就发生了.DH+BG = ( tan∠FCD +tan∠ECB )*2a.
当然,问题还是转换为求那两个三角函数的和.
又tan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）逆向使用,(tanα+tanβ）=tan（α+β）*（1-tanα·tanβ).
所以tan∠ECB+tan∠FCD = tan∠ECB+tan( 30° - ∠ECB)
化简后,上式子等于 √3/3 - (1/3)*tan∠ECB.
所以,所有东西都只跟∠ECB有关.当然,如果你知道∠ECB等于15°（由于题目没有给出那些东西的具体关系,我只是按照最一般我能解出来得情况解了一下）,那一切都不用求了...
最后,就是全部反过来做一次.
得到DH+BG = 2a*(√3/3 - (1/3)*tan∠ECB),
AH+AG = 2a - 2a*(√3/3 - (1/3)*tan∠ECB)
两个三角形的和为：a*[ 2a - 2a*(√3/3 - (1/3)*tan∠ECB) ]
阴影面积为：(2/3)π - a*[ 2a - 2a*(√3/3 - (1/3)*tan∠ECB) ].
设扇形交AB为G，连接AC,过G作AC的垂线交AC于H，设GH为x，∵∠BAC=45° ∴AH=GH=X∵∠ACE=30° ∴CH=√3GH=√3X∵AC=AH+CH ∴x+√3X=2√2a ∴x=2√2a/(1+√3)∴AG=√2x=4a/(1+√3)=2(√3-1)a∴BG=AB-AG=2(2-√3)a∴阴影面积=π*2a*2a*60/360-(2a*2a-BG*BC/2*2)=[2...
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设扇形交AB为G，连接AC,过G作AC的垂线交AC于H，设GH为x，∵∠BAC=45° ∴AH=GH=X∵∠ACE=30° ∴CH=√3GH=√3X∵AC=AH+CH ∴x+√3X=2√2a ∴x=2√2a/(1+√3)∴AG=√2x=4a/(1+√3)=2(√3-1)a∴BG=AB-AG=2(2-√3)a∴阴影面积=π*2a*2a*60/360-(2a*2a-BG*BC/2*2)=[2/3π+4(2-√3)-4]a^2
但如果知道tag15°=(2-√3)就更简单了
收起
采用分割法吧 连接有扇型的那条对角线 这样你得到两个三角形 三角形地边可以用勾股定理求出 最后求出扇形面积 减去两三角形面积就行了