在三棱锥A-BCD中,AD=8,BC=18,其余四条棱长都是17,求三棱锥的体积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 10:03:05
在三棱锥A-BCD中,AD=8,BC=18,其余四条棱长都是17,求三棱锥的体积
在三棱锥A-BCD中,AD=8,BC=18,其余四条棱长都是17,求三棱锥的体积
在三棱锥A-BCD中,AD=8,BC=18,其余四条棱长都是17,求三棱锥的体积
(原题中AD=8改为AD=16,否则计算复杂且无多大意义)
如图,取AD中点E,连结CE,作BH⊥CE于E
∵AB=BD,CA=CD,E是AD中点,
∴BE⊥AD,CE⊥AD
∴AD⊥平面BEC,
∴AD⊥BH,
又∵BH⊥CE,
∴BH⊥平面ACD,
∵CE²=AC²-AE²=225
∴CE=15,同理BE=15,
取BC中点G,则EG⊥BC,CG=9
由勾股定理得EG=12,
∵BC*EG/2=EC*BH/2（等积）,
∴BH=18*12/15=72/5
∴V三棱锥=S△ACD*BH/3=(16*15/2)*(72/5)/3=576
(原题中AD=8改为AD=16；若不改,方法相同但计算复杂且无多大意义..)
首先把图画出来，我们便发现△ABC与△DBC都是等腰三角形，所以过点A作AE⊥BC交BC于E点，过D作DF⊥BC于F点，其实E点与F点是重合的，因为两个等腰三角形有共同的底边BC
并且E点（即F点，此后皆用E点表示)为BC的中点，这个可以由等腰三角形垂直平分线定理可得。
再用勾股定理，易得AE，DE=4√13
在△ADE中，我们用余弦定理可求出
cos∠AED=11...
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首先把图画出来，我们便发现△ABC与△DBC都是等腰三角形，所以过点A作AE⊥BC交BC于E点，过D作DF⊥BC于F点，其实E点与F点是重合的，因为两个等腰三角形有共同的底边BC
并且E点（即F点，此后皆用E点表示)为BC的中点，这个可以由等腰三角形垂直平分线定理可得。
再用勾股定理，易得AE，DE=4√13
在△ADE中，我们用余弦定理可求出
cos∠AED=11/13（如果不清楚余弦定理，可以百度一下）
由正弦和余弦关系（cos²α+sin²α=1）
得sin∠AED=（4√3）/13
过A点作AO垂直于DE于O点，即AO垂直于平面BCD，所以AO为三棱柱的高
则高H=AE×sin∠AED
S△BCD=（1/2）×DE×BC
所以三棱柱体积V=（1/3）×H×S△BCD=96√3
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