求证:(n→+∞)lim(1+ 1/n)^n=e这个式子好像挺重要的,指数函数和对数函数的求导都是以这个定理为基础的,可是这个定理怎样证明呢?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 20:29:47
求证:(n→+∞)lim(1+ 1/n)^n=e这个式子好像挺重要的,指数函数和对数函数的求导都是以这个定理为基础的,可是这个定理怎样证明呢?
求证:(n→+∞)lim(1+ 1/n)^n=e
这个式子好像挺重要的,指数函数和对数函数的求导都是以这个定理为基础的,可是这个定理怎样证明呢?
求证:(n→+∞)lim(1+ 1/n)^n=e这个式子好像挺重要的,指数函数和对数函数的求导都是以这个定理为基础的,可是这个定理怎样证明呢?
我去,你让人家证明这个重要极限啊!这样,证明极限的方法是先证明有界,在算,e本身就是计算机算出来的,所以我只证明有界性（就是证明上式无限接近于一个数）：
根据二项式展开定理,(1+1/n)^n=1+1+(1-1/n)/2!+.+(1-1/n)/n!.(1-(n-1)/n),而(1+1/(n+1))^(n+1)=1+1+(1-1/(n+1))+...+(1-1/(n+1))/n!.(1-(n-1)/(n+1))+[1/(n+1)!]乘(1-1/(n+1)).(1-n/(n+1));比较两个展开式,后者的展开式除了比前者的多了最后一项外,从第三项开始各项都比前者相应的项大,因此(1+1/n)^n<(1+1/(n+1))^(n+1);所以数列单调递增,由(1+1/n)^n展式得(1+1/n)^n＜1+1+1/2!+1/3!+.1/n!<1+1+1/2+1/2^2+.+1/2^(n-1)=1+(1-1/2^n)/(1-1/2)<3;因此原式有上界,通常用拉丁字母e表示(1+1/n)^n的极限,原式得证!
这个极限，非数学专业的学生，是不需要知道它的证明过程的，且非数学专业的微积分教材里面，也没有给出这个极限是如何证明出来的。只要把它当成结论和“定理”记下来就可以了。
对于非数学专业的学生，只要求会用单调有界准则证明 lim(1+ 1/n)^n 存在就可以了，而它的极限到底是多少，是通过什么方法求的，并不需要知道。
至于后面学的 lim(1+ 1/x)^x=e，它的证明，则是直接...
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这个极限，非数学专业的学生，是不需要知道它的证明过程的，且非数学专业的微积分教材里面，也没有给出这个极限是如何证明出来的。只要把它当成结论和“定理”记下来就可以了。
对于非数学专业的学生，只要求会用单调有界准则证明 lim(1+ 1/n)^n 存在就可以了，而它的极限到底是多少，是通过什么方法求的，并不需要知道。
至于后面学的 lim(1+ 1/x)^x=e，它的证明，则是直接用了lim(1+ 1/n)^n=e 这个“结论”。
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这个的证明书上不是有么，在两个重要的极限中，就有：
（x→0)lim(1+x)^(1/x)=e的证明么，这个类似证明。