牛顿的草地与母牛问题Newtons Problem of the Fields and Cows
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 06:35:41
牛顿的草地与母牛问题Newtons Problem of the Fields and Cows
牛顿的草地与母牛问题Newtons Problem of the Fields and Cows
牛顿的草地与母牛问题Newtons Problem of the Fields and Cows
伟大的科学家牛顿在1707年曾提出一个草地与母牛的问题：
a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完；
a′头母牛将b′块地上的牧草在c ′天内吃完；
a″头母牛将b″块地上的牧草在c″天内吃完；
求出从a到c″9个数量的关系.
假设所有草地提供牧草量相同.每块草地每日长草量保持不变,且每头母牛每天吃草量相同.由于问题的有趣和解法在其它问题中的应用,使它成为数学史上著名的命题.现在我们从具体问题上进行说明.
例1 牧场上一片青草,每天牧草都匀速生长.如果27头牛6周吃完,23头牛9周吃完,那么21头牛几周吃完?
设1头牛1周吃的草为1份,27头牛6周吃27×6=162（份）,23头牛9周吃23×9=207（份）,这说明牧场每周长新草（207－162）÷（9－6）=15（份）.
原来（牛吃前）牧场有草 162－15×6=72（份）
吃新草的牛需要 15÷1=15（头）
吃旧草的牛有 21－15=6（头）
吃完草的时间 72÷6=12（头）
评注：牛顿问题是一个很有趣的问题,关键在于牧场每天都长新草,通过两组条件的比较,先求出每天（周）长牧草的新草量,然后把牛分成两部分,一部分吃新草,一部分吃旧草,从而求出吃草的天数.显然牛实际上是不能这样分成两部分去吃草的,但在解数学问题中,这种分成几部分去解决问题的方法,可以使复杂的问题变成简单的问题,化繁为简是常常应用的技巧之一.
例2 由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少.如果某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天,那么可供多少头牛吃10天?
20头牛5天吃草20×5=100（份）,15头牛6天吃草15×6=90（份）
青草每天减少（100－90）÷（6－5）=10（份）
牛吃草前牧场有草100＋10×5=150（份）
150份草吃10天本可供150÷10=15（头）
但因每天减少10份草,相当于10头牛吃掉,所以只能供牛15－10=5（头）
评注：本题和上题类似,草每天在减少,通过两组条件的比较,求出每天牧草的减少量,然后把牛看作两部分,一部分是看得见的牛,一部分是看不见的牛--寒冷的化身,分别计算,最后求差.