已知数列(An)的首项A1=1,其前n项的和为Sn,且对于任意的正整数n,有n,An,Sn成等差数列.求证数列(Sn+n+2)成等比数列.求数列(An)的通项公式.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 00:34:37
已知数列(An)的首项A1=1,其前n项的和为Sn,且对于任意的正整数n,有n,An,Sn成等差数列.求证数列(Sn+n+2)成等比数列.求数列(An)的通项公式.已知数列(An)的首项A1=1,其前

已知数列(An)的首项A1=1,其前n项的和为Sn,且对于任意的正整数n,有n,An,Sn成等差数列.求证数列(Sn+n+2)成等比数列.求数列(An)的通项公式.
已知数列(An)的首项A1=1,其前n项的和为Sn,且对于任意的正整数n,有n,An,Sn成等差数列.求证数列(Sn+n+2)成等比数列.求数列(An)的通项公式.

已知数列(An)的首项A1=1,其前n项的和为Sn,且对于任意的正整数n,有n,An,Sn成等差数列.求证数列(Sn+n+2)成等比数列.求数列(An)的通项公式.
证明:对于任意的正整数n,有n,An,Sn成等差数列2An=n+Sn
2A(n+1)=n+1+S(n+1)=n+1+Sn+A(n+1)
有A(n+1)= Sn +n+1
于是(S(n+1)+n+1+2 )/(Sn+n+2)=( 2A(n+1)+2)/ (A(n+1)+1)=2
所以数列(Sn+n+2)成等比数列
由2An=n+Sn,A(n+1)= Sn +n+1有A(n+1)=2An+1
所以A2=2A1+1=2+1=3,A3=2A2+1=4+2+1=7
A4=2A3+1=8+4+2+1=15,……
于是,An=2^(n-1)+2^(n-2)+…+1=2^n-1
[[求An也可如下:
由2An=n+Sn,A(n+1)= Sn +n+1有A(n+1)=2An+1
则A(n+1)+1=2(An+1)
所以{An+1}是以A1+1=2为首项,2 为公比的等比数列,
An+1=2*2^(n-1)=2^n,那么An=2^n-1]]

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