求大师们请教啦,题目在问题补充里.设三角形ABC的长度均为自然数,且周长不大于30,并满足（A-B)的平方+(A-B)的平方+（B-C)的平方=26,问满足条件的三角形有多少个?（注：全等三角形只算一个）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 04:55:35
求大师们请教啦,题目在问题补充里.设三角形ABC的长度均为自然数,且周长不大于30,并满足（A-B)的平方+(A-B)的平方+（B-C)的平方=26,问满足条件的三角形有多少个?（注：全等三角形只算一个）
求大师们请教啦,题目在问题补充里.
设三角形ABC的长度均为自然数,且周长不大于30,并满足（A-B)的平方+(A-B)的平方+（B-C)的平方=26,问满足条件的三角形有多少个?（注：全等三角形只算一个）
求大师们请教啦,题目在问题补充里.设三角形ABC的长度均为自然数,且周长不大于30,并满足（A-B)的平方+(A-B)的平方+（B-C)的平方=26,问满足条件的三角形有多少个?（注：全等三角形只算一个）
郭敦顒回答：
已知a、b、c为三角形ABC三边的长度,均为自然数,且周长不大于30,即
a+b+c≮30,且（a-b）2+（a-b）2+（b-c）2=26,括号右面的2为方指数,表平方（下同）.
分析：小于26可以表示为平方数的数是：1,4,9,16.
但是“1,4,9,16”中的任何组合都不能满足（a-b）2+（a-b）2+（b-c）2=26
的条件,看来其中必有错误,否则无解.为了可解现将
（a-b）2+（a-b）2+（b-c）2=26
更改为（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=26.
如此则有,1+9+16=26符合条件,也只有这组符合条件.
与此对应的三组边差则分别是,1,3,4.
在（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=26中的a,b,c且若先不考虑能否构成三角形而只就数值而言,它们分别为1,4,5符合“条件”,就是说相邻两数（边）的差为3与1,而且总是这样的“3,1”.但（1,4,5）这组不能构成三角形.于是在这组上依次加1,2,3,4,5,6有
1+（1,4,5）=（2,5,6）,
2+（1,4,5）=（3,6,7）,
3+（1,4,5）=（4,7,8）,
4+（1,4,5）=（5,8,9）,
5+（1,4,5）=（6,9,10）,
6+（1,4,5）=（7,10,11）,且7+10+11=28≮30符合条件.
以上共有6组满足三角形的条件.即满足条件的三角形有6个.
当7+（1,4,5）=（8,11,12）时,因8+11+12=31〉30,则不符合条件了.