如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,过D作DF⊥BC,交AB的延长线于E,F为垂足.(1)求证:直线DE是⊙O的切线;(2)当AB=5,AC=8时,求cosE的值
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/18 15:09:14
如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,过D作DF⊥BC,交AB的延长线于E,F为垂足.(1)求证:直线DE是⊙O的切线;(2)当AB=5,AC=8时,求cosE的值
如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,过D作DF⊥BC,交AB的延长线于E,F为垂足.(1)求证:直线DE是⊙O的切线;(2)当AB=5,AC=8时,求cosE的值
如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,过D作DF⊥BC,交AB的延长线于E,F为垂足.(1)求证:直线DE是⊙O的切线;(2)当AB=5,AC=8时,求cosE的值
(1)要想证DE是⊙O的切线,只要连接OD,求证OD⊥DE即可;
(2)线段AD、AB、弧BD围成的面积=S△ABD+S扇形OBD-S△OBD.
(1)连接OD,BD;
∵AB=BC(已知),
∴∠A=∠C(等边对等角).
∵OA=OD(⊙O的半径),
∴∠A=∠ADO(等边对等角),
∴∠C=∠ADO(等量代换),
∴OD∥BC(同位角相等,两直线平行).
又∵DF⊥BC,
∴OD⊥DE.
∵点D在⊙O上,
∴直线DE是⊙O的切线;
(2)∵OD⊥DE,
∴∠ODE=90°.
∵BE=
1
2
AB=2,
∴OB=BE=2,
∴OD=OB=
1
2
OE,
∴∠E=30°,
∴∠DOB=60°,
∴△ODB是等边三角形,
∴∠DBA=60°,
∴S△ABD
1
2
AB•BDsin∠ABD=
1
2
×4×2×
3
2
=2
3
,S扇形OBD=
60π×22
360
=
2π
3
,S△OBD=
1
2
OB•ODsin∠DOB=
1
2
×2×2×
3
2
=
3
,
∴线段AD、AB、弧BD围成的面积=S△ABD+S扇形OBD-S△OBD=2
3
+
2π
3
-
3
=
3
+
2π
3
.