不定方程,一元二次方程基本解法!

不定方程,一元二次方程基本解法!
不定方程,一元二次方程基本解法!

不定方程,一元二次方程基本解法!
不定方程
不定方程是数学数论的一个分支,它有着悠久的历史与丰富的内容.所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组,其未知数的个数通常多于方程的个数.
古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程,所以不定方程又称丢番图方程.1969年,莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果.
近年来,这个领域更有重要进展.但从整体上来说,对于高于二次的多元不定方程,人们知道得不多.另一方面,不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系,在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题,这就使得不定方程这一古老的分支仍然并将继续吸引着许多数学家的注意,成为数论中重要的研究课题之一.
定义：只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
一般形式：ax的平方+bx+c=0（a、b、c为常数,a≠0
例：x2－1=0
一般解法
1.直接开平方法
2.配方法
3.公式法
4.分解因式法

换一个角度来处理一元二次方程整数解问题
问题：一元二次方程（其中a、b、c至少有一个含有参数），求当参数为何整数时，关于x的方程有整数解。此类问题，常规思路是：求出满足△=b2－4ac是一个完全平方数时参数的值，再代入求根公式，使x满足整数；或者利用韦达定理来解。这种解法有时带来很麻烦的计算，甚至有时陷入困境。本文试图从另一个角度来谈这一类问题的解法。其思想方法是转化为不定方程的整数解，这...

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换一个角度来处理一元二次方程整数解问题
问题：一元二次方程（其中a、b、c至少有一个含有参数），求当参数为何整数时，关于x的方程有整数解。此类问题，常规思路是：求出满足△=b2－4ac是一个完全平方数时参数的值，再代入求根公式，使x满足整数；或者利用韦达定理来解。这种解法有时带来很麻烦的计算，甚至有时陷入困境。本文试图从另一个角度来谈这一类问题的解法。其思想方法是转化为不定方程的整数解，这样能体现出抓住问题的本质，使其更快、更简便、更准确地解决问题。下面将介绍几种常用的处理这一类问题的具体方法。
一、变量分离法——将其中的一个变量与其它的变量分离开来，再确定整数解。
例1 已知方程x2＋px－p＋30=0，当p为何整数时方程两根均为正整数，且求出两根。
分析：由x2＋px－p＋30=0得，p(x－1)=－x2－30，显然x≠1，则
，因p为整数，x为正整数，所以x=2，32。此时，p= －34，故当p=－34时，方程有两个正整数解，且x1=2，x2=32。
例2 当m是什么整数时，关于x的方程的两根都是整数。
分析：由得，m(x+1)=－x2+x－1，显然x≠－1，则，因m，x均为整数，所以x=－4，－2，0，2；代入求得相应的m=7，－1。故当m=7或m=－1时，方程的两根均为整数。
例3 求出所有这样的正整数a，使得关于x的二次方程至少有一个整数根。（第三届“祖冲之杯”初中数学竞赛题）
分析：由得a(x+2)2=2x+12，显然x≠－2，则a=，因为a为正整数，所以≥1，于是解得－4≤x≤2且x≠－2。这样x的可能值为－4，―3，―1，0，1，2；代入检验得a=1,3,6,10。故当a=1,3,6,10时，方程至少有一个整数根。
二、分解因式法——通过分解因式，将方程转化两个不定方程或几个不定方程组来解。
例4 已知关于x的方程a2x2－(3a2－8a)x+2a2－13a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，那末a= （1998年全国初中数学竞赛题）
分析：由原方程化为(ax－2a+3)(ax－a+5)=0，于是原方程转化为两个不定方程ax－2a+3=0或者ax－a+5=0，显然a≠0，则
① 或 ②
因a是非负整数，所以由①得a=1,3；由②得a=1,5。故a=1,3,5时，关于x的方程至少有一个整数解。
例5 当k为何整数时，关于x的二次方程x2－3kx+2k2－6=0两根都为整数。
分析：由x2－3kx+2k2－6=0得(x-2k)(x-k)=6，因x、k为整数，所以原方程化为
x－2k=±2 或 x－2k=±3 或 x－2k=±6 或 x－2k=±1
x－k=±3 x－k=±2 x－k=±1 x－k=±6
且x－2k与x－k同号，故得八个不定方程组，解得k=－1，1，－5，5。
三、配方估值法——将原方程通过配方，使一边成为一个平方式或几个平方式的和，另一边是一个简单的代数式或数，然后通过估测等方法，缩小某些变量的取值范围，再确定其整数解。
例6 设m为整数，且4分析：由原方程得x2－2(2m－3)x＋(2m－3)2＝2m＋1，即(x－2m+3)2=2m＋1，因4例7 已知m为正整数，求当m取什么值时，关于x的方程3x2－4mx＋3m2－35=0至少有一个整数解。
分析：由原方程得9x2－12mx＋9m2=105，则(3x－2m)2+5m2=105，因(3x－2m)2≥0 ，所以5m2≤105，即m2≤21，由m为正整数得m可能取值为1，2，3，4；分别代入检验知，当m=2，3时，无整数解，当m=1，4时方程至少有一个整数解。
例8 a、b、c取怎样的整数满足不等式a2+b2+c2+3分析：若存在整数a、b、c，使得a2+b2+c2+3四、综合分析法——有时我们将上面几种方法同时运用，才能求得其整数解。
例9 已知方程，求当a取什么整数时，关于x的方程至少有一个整数解。
分析：由原方程配方得，令x+a=p，ax=t，则上式化为3p2-7p-9t=0 ① 且p2≥4t ②
由原方程易知，若a=0，则方程有一个整数解0，若a≠0，则，由①得
，因a、x为整数，所以p为正整数，t为整数，且3p+2与9互质，从而得p必能被9整除，即p=9，18，27……，又由①、②得4t－p2=，解得，故p=9，代入①得t=20，解得a=4时，x=5或a=5时，x=4。因此当a=0，4，5时，方程有整数解。
以上我们看到关于一元二次方程的整数解问题，实质就是求不定方程的整数解问题中的一类情况。当然有些特殊情形，利用常规思路也是容易求解的，但一般情形转化为不定方程整数解来处理显得自然、简洁，这是本人的一些看法。

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