几何竞赛题三角形ABC,圆S过点B并切三角形AC边于点A,圆T过点C并切三角形AB边于点A,S和T相交于点D和点A,AD所在直线交圆ABC与点E,试证AE=2AD.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 23:06:32
几何竞赛题三角形ABC,圆S过点B并切三角形AC边于点A,圆T过点C并切三角形AB边于点A,S和T相交于点D和点A,AD所在直线交圆ABC与点E,试证AE=2AD.
几何竞赛题
三角形ABC,圆S过点B并切三角形AC边于点A,圆T过点C并切三角形AB边于点A,S和T相交于点D和点A,AD所在直线交圆ABC与点E,试证AE=2AD.
几何竞赛题三角形ABC,圆S过点B并切三角形AC边于点A,圆T过点C并切三角形AB边于点A,S和T相交于点D和点A,AD所在直线交圆ABC与点E,试证AE=2AD.
条件中哪有∠BAC＝90°?楼上的有点想当然
我的解答(发不了图片)：
连接OB、OC、DB、DC
∵AB是⊙T的切线
∴∠BAD＝∠ACD
(弦切角等于所夹弧所对的圆周角)
∵AC是⊙S的切线
∴∠CAD＝∠ABD
∴△ACD∽△BAD
∴∠CDE＝∠CAD＋∠ACD＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC
∠BDE＝∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC
∴∠BDC＝2∠BAC＝∠BOC
∴B、O、D、C四点共圆
∴∠ODB＝∠OCB＝∠OBC
＝1/2(180°－∠BOC)＝90°－∠BAC
∴∠BDE＋∠ODB＝∠BAC＋90°－∠BAC＝90°
∴OD⊥AE
∴AE＝2AD
提示:
1. BAC是直角
2. D在BC上
你确定你抄的题目是完整的？此题条件不全呀。
证明：连接BD,BE,CD,CE
由于BA和CA分别是圆T和圆S的切线
∴∠BAD=∠ACD,∠CAD=∠ABD
∴△ABD∽△CAD=>BD/AD=AD/CD
即AD²=BD*CD
∵E在△ABC的外接圆上
∴∠BAD=∠BCE，即∠ACD=∠BCE
=>∠DCE=∠ACB=∠DEB
同理∠ABD=∠CAD=∠CBE
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证明：连接BD,BE,CD,CE
由于BA和CA分别是圆T和圆S的切线
∴∠BAD=∠ACD,∠CAD=∠ABD
∴△ABD∽△CAD=>BD/AD=AD/CD
即AD²=BD*CD
∵E在△ABC的外接圆上
∴∠BAD=∠BCE，即∠ACD=∠BCE
=>∠DCE=∠ACB=∠DEB
同理∠ABD=∠CAD=∠CBE
=>∠DBE=∠ABC=∠DEC
∴△BDE∽△EDC=>BD/DE=DE/CD
即DE²=BD*CD
综上知AD=DE，即AE=2AD
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三角形ABC，圆S过点B并切三角形AC边于点A，圆T过点C并切三角形AB边于点A，S和T相交于点D和点A，AD所在直线交圆ABC与点E，试证AE=2AD 证明：∵在⊿ABC中，圆S过点B并切三角形AC边于点A ∴AC⊥SA 设⊿ABC外接圆为圆V，连接SV ∴SV⊥AB ∵圆T过点C并切三角形AB边于点A，∴AB⊥AT ...
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三角形ABC，圆S过点B并切三角形AC边于点A，圆T过点C并切三角形AB边于点A，S和T相交于点D和点A，AD所在直线交圆ABC与点E，试证AE=2AD 证明：∵在⊿ABC中，圆S过点B并切三角形AC边于点A ∴AC⊥SA 设⊿ABC外接圆为圆V，连接SV ∴SV⊥AB ∵圆T过点C并切三角形AB边于点A，∴AB⊥AT ∴AT//SV 同理可知AS//TV ∴ATVS为平行四边形==>AT=SV,TV=SA 连接ST,SD ∴ST垂直且平分AD==>SD=SA,TA=TD ∴TD=SV,SD=TV，ST=ST==>⊿STD≌⊿TSV ∴TSDV为等腰梯形==>DV//ST==>DV⊥AD ∵VA=VE,∴D是AE中点 ∴AE=2AD
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