在三角形ABC中,AB等于AC P为BC延长线上的一点 PE垂直AB PF垂直AC CD垂直于AB 证PE-PF=CD
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 18:02:05
在三角形ABC中,AB等于AC P为BC延长线上的一点 PE垂直AB PF垂直AC CD垂直于AB 证PE-PF=CD
在三角形ABC中,AB等于AC P为BC延长线上的一点 PE垂直AB PF垂直AC CD垂直于AB 证PE-PF=CD
在三角形ABC中,AB等于AC P为BC延长线上的一点 PE垂直AB PF垂直AC CD垂直于AB 证PE-PF=CD
证明：过点C作CG⊥PE于G
∵AB＝AC
∴∠B＝∠ABC
∵CD⊥AB
∴∠BCD+∠B＝90
∴∠BCD+∠ACB＝90
∵∠PCF＝∠ACB
∴∠BCD+∠PCF＝90
∵PF⊥AC
∴∠PFC＝90,∠CPF+∠PCF＝90
∴∠BCD＝∠CPF
∵PE⊥AB,CD⊥AB
∴PE∥CD
∴∠BPE＝∠BCD
∴∠BPE＝∠CPF
∵CG⊥PE
∴矩形CDEG,∠PGC＝∠PFC＝90
∴EG＝CD
∴CP＝CP
∴△PCF≌△PCG （AAS）
∴PG＝PF
∵PE-PG＝EG
∴PE-PF＝CD
数学辅导团解答了你的提问,
面积法证明：
连接PA，
SΔABC=SΔPAB-SΔPAC，
1/2AB*CD=1/2AB*PE-1/2AC*PF，
∵AB=AC，
∴CD=PE-PF。
证明：如图（1）过点C作PE的垂线交PE于K,则，∠CKE=90° ∵ PE⊥AB CD⊥AB ∴ ∠CDE=∠DEK=∠CKE=90° ∴ DCKE为矩形 ∴ EK=CD CK‖AB ∴ ∠ABC=∠KCP (两直线平行，同位角相等) 又∵ AB=AC ∴ ∠ABC=∠ACB 又∵ ∠ACB=∠FCP(对顶角相等) ∴ ∠ABC=∠FCP ∴ ∠KCP=∠FCP 在Rt△KCP和Rt△FCP中 ∵ ∠PKC=∠PFC=90° ∠KCP=∠FCP PC=PC ∴ Rt△KCP≡Rt△FCP (AAS) ∴ PF=PK 又∵PK=PE-EK=PE-CD ∴PF=PE-CD ∴ PE=PF+CD ∴ PE-PF=CD