数列,已知正项数列An的前n项和为Sn.a1=2.且4Sn=An乘A(n+1),求An的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 06:06:51
数列,已知正项数列An的前n项和为Sn.a1=2.且4Sn=An乘A(n+1),求An的通项公式
数列,
已知正项数列An的前n项和为Sn.a1=2.且4Sn=An乘A(n+1),求An的通项公式
数列,已知正项数列An的前n项和为Sn.a1=2.且4Sn=An乘A(n+1),求An的通项公式
当n=1时,s1=a1=2
当n》2时,4S（n-1）=A(n-1)×An；
Sn-S（n-1）=An,4Sn-4S（n-1）=An×A(n+1)-A(n-1)×An 即4an=an（an+1-an-1）
∵an≠0
∴an+1-an-1=4 ∵a1=2得a2=5
奇数项成以4为公差的等差数列；偶数项成以4为公差的等差数列
an=5n-3
4A(n)=4(S(n)-S(n-1))=A(n)A(n+1)-A(n)A(n-1)
A(n+1)-A(n-1)=4
令A(0)=0，根据已知4S(2)=4A(1)=A(1)*A(2)
所以A(2)=4
对n=2K
因A(2k)-A(2(k-1))=4；遍历k=1...K并两边求和，A(2K)-A(0)=4K=2(2K)，所以当n为偶数时，A(n)=2n
全部展开
4A(n)=4(S(n)-S(n-1))=A(n)A(n+1)-A(n)A(n-1)
A(n+1)-A(n-1)=4
令A(0)=0，根据已知4S(2)=4A(1)=A(1)*A(2)
所以A(2)=4
对n=2K
因A(2k)-A(2(k-1))=4；遍历k=1...K并两边求和，A(2K)-A(0)=4K=2(2K)，所以当n为偶数时，A(n)=2n
对n=2K+1
A(2k+1)-A(2k-1)=A(2k+1)-A(2(k-1)+1)=4；遍历k=1...K并两边求和，A(2K+1)-A(1)=4K
A(2K+1)=4K+2=2(2K+1)，所以当n为奇数时，A(n)=2n也成立
所以A(n)=2n，对所有正整数都成立
收起
4Sn=An*A(n+1)
4Sn=A(n-1)*An
4An=An[A(n+1)-A(n-1)]
[A(n+1)-A(n-1)]=4
an-a(n-2)=4
a1=2 a2=-4 a3=6
an=2n(n为奇数）
an=2n-8（n为偶数）