已知正数列｛an｝的前n项和为sn,且an,sn,1/an成等差数列,求an的通项公式,并用数学归纳法证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/21 21:30:03
已知正数列｛an｝的前n项和为sn,且an,sn,1/an成等差数列,求an的通项公式,并用数学归纳法证明.
已知正数列｛an｝的前n项和为sn,且an,sn,1/an成等差数列,求an的通项公式,并用数学归纳法证明.
已知正数列｛an｝的前n项和为sn,且an,sn,1/an成等差数列,求an的通项公式,并用数学归纳法证明.
当n=1时,2S1=a1+1/a1,得a1=1
当n=2时,2S2=2(1+a2)=a2+1/a2,得a2=√2-1
当n=3时,2S3=2(√2+a3)=a3+1/a3,得a3=√3-√2
猜想an=√n-√(n-1) (n∈N*)
证明：
当n=1时显然成立；
假设n=k时成立,那么有ak=√k-√(k-1),2Sk=ak+1/ak=2√k
那么当n=k+1时,有2S(k+1)=2(Sk+a(k+1))=a(k+1)+1/a(k+1)
化简有2√k+a(k+1)=1/a(k+1),这是关于a(k+1)的一元二次方程.求得a(k+1)=√(k+1)-√k
故n=k+1也成立.
综合上述,an=√n-√(n-1) (n∈N*)
an+1/an=2sn，an=sn-s（n-1），带入之后，整理得到，sn^2-s(n-1)^2=1，通过递推，得到sn^2=n，即sn=根号n
归纳法证明：当n=1时，s1=1，易知成立；假设当n=k时，成立sk=根号k，那么当n=k+1时，
s(k+1)^2-s(k)^2=1,推出s(k+1)=根号(k+1)，故当n=k+1时也成立。
综上所述，sn=根号n...
全部展开
an+1/an=2sn，an=sn-s（n-1），带入之后，整理得到，sn^2-s(n-1)^2=1，通过递推，得到sn^2=n，即sn=根号n
归纳法证明：当n=1时，s1=1，易知成立；假设当n=k时，成立sk=根号k，那么当n=k+1时，
s(k+1)^2-s(k)^2=1,推出s(k+1)=根号(k+1)，故当n=k+1时也成立。
综上所述，sn=根号n
收起
通过计算
a1=√1-√0
a2=√2-√1
a3=√3-√2
可以推出
an=√n-√(n-1)
数学归纳法证明
(1)n=1时，成立
（2）假设n=k(k>=1)，有ak=√k-√(k-1)
则n=k+1时，2S(k+1)=a(k+1)+1/a(k+1)
Sk=√k, S(k+1)=Sk+a(k+1)
...
全部展开
通过计算
a1=√1-√0
a2=√2-√1
a3=√3-√2
可以推出
an=√n-√(n-1)
数学归纳法证明
(1)n=1时，成立
（2）假设n=k(k>=1)，有ak=√k-√(k-1)
则n=k+1时，2S(k+1)=a(k+1)+1/a(k+1)
Sk=√k, S(k+1)=Sk+a(k+1)
所以2Sk+2a(k+1)=a(k+1)+1/a(k+1)
2√k+a(k+1)=1/a(k+1)
【a(k+1)+√k】^2=1+k
所以a(k+1)=√(k+1)-√k
即n=k+1时，也成立
综上，an=√n-√(n-1)
收起
2S(n) = a(n) + 1/a(n) ①
2S(n-1) = a(n-1) + 1/a(n-1) ②
相减： 2a(n) = a(n) + 1/a(n) - a(n-1) - 1/a(n-1)
a(n) - 1/a(n) = - a(n-1) - 1/a(n-1)
∵a(n-1) > 0, ∴ a(n) < 1
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以前很喜欢这类题目，现在看到这类题目就烦。