高二 数学 数学题,帮忙解一下. 请详细解答,谢谢! (5 12:8:17)过点P（1,4）,作直线与两坐标轴的正半轴相交,当直线在两坐标轴上的截距之和最小时,求此直线方程

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 13:17:46
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高二 数学 数学题,帮忙解一下. 请详细解答,谢谢! (5 12:8:17)
过点P（1,4）,作直线与两坐标轴的正半轴相交,当直线在两坐标轴上的截距之和最小时,求此直线方程

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y=-2x+6
设直线为k(x-1)=y-4
则有M=4-k+(k-4)/k
求得M的最大值为9,此时k值为-2 则b值为6

设直线为y=k(x-1)+4;k<0
y=0;x=1-4/k
x=0;y=4-k;
m=1-4/k+4-k=5+4/(-k)+(-k)>=5+4=9
当且仅当k=-2时取等号即截距有最小值
y=-2x+6

-x+5=y

设截距式：x/a +y/b =1
带入P（1，4）
所以1/a + 4/b =1
∴a+b=(a+b）*（1/a + 4/b）
=5+b/a +4a/b≥5+2*2=9 （基本不等式，有点巧妙 ，以后要记得了）
当且仅当b/a =4a/b 即：b=2a b＞0 a＞0
所以a+b=9 b=2a
所以a=3 b=6
直线：y=-2x+6

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