数学题高二文科某校要建招一个容积为8m立方3,深为2m的长方体无盖水池,池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元,求池底的长和宽分别是多少m时,水池的总造价最低,其最底总造价是多少
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 12:38:48
数学题高二文科某校要建招一个容积为8m立方3,深为2m的长方体无盖水池,池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元,求池底的长和宽分别是多少m时,水池的总造价最低,其最底总造价是多少
数学题高二文科
某校要建招一个容积为8m立方3,深为2m的长方体无盖水池,池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元,求池底的长和宽分别是多少m时,水池的总造价最低,其最底总造价是多少元?
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具体的方法？
数学题高二文科某校要建招一个容积为8m立方3,深为2m的长方体无盖水池,池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元,求池底的长和宽分别是多少m时,水池的总造价最低,其最底总造价是多少
底面积=8/2=4m²
设长是x,则宽是4/x
所以池底费用4×240=960
池壁面积=2×(2x+8/x)=4x+16/x
所以费用(4x+16/x)×160=640x+2560/x
所以一共960+640x+2560/x
显然x>0
所以640x+2560/x>=2√(640x×2560/x)=2√(640²×4)=2560
当640x=2560/x时取等号
x²=4
x=2
此时最小=960+2560=3520
答：当长和宽都是2米时,造价最低是3520元
长2m，宽2m
2*2*240+2*2*160*4=1600元
池底面积为8/2=4平方米，设池底长为x, 宽为y, 则
xy=4
池壁面积为4(x+y)
总造价为160*4(x+y)+240*4
由不等式 x+y>=2√(xy) 得 x+y>=4，在x=2,y=2时取最小值
所以最低总造价为
160*4*4+240*4=3520 元
容积是8m^3,深2m
所以底面积4m^2
设长xm,那么宽4/x米。
因为底面积固定，所以底面造价也就固定=4*240=960元
这里变化的就是池壁造价=160*2*2*(x+4/x)
因为x+4/x>=4当x=2时等号成立。
所以池壁最低造价=2560
最低总造价=2560+960=3520元
线性规划
利用图像解决 具体方程见上
在图中画出可行域，变换目标函数（造价）即可发现最小值