高数定积分计算问题,图第一处画线的ln函数是奇函数?图第二处画线的地方怎么变过去的,括号里的两项哪里去了?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 11:52:41
高数定积分计算问题,图第一处画线的ln函数是奇函数?图第二处画线的地方怎么变过去的,括号里的两项哪里去了?
高数定积分计算问题,
图第一处画线的ln函数是奇函数?
图第二处画线的地方怎么变过去的,括号里的两项哪里去了?
高数定积分计算问题,图第一处画线的ln函数是奇函数?图第二处画线的地方怎么变过去的,括号里的两项哪里去了?
第一个，
f(x)=ln[x+√(1+x^2)]
因为x∈R
且f(-x)=ln[-x+√(1+x^2)]=ln {[-x+√(1+x^2)][x+√(1+x^2)]/[x+√(1+x^2)]}
=ln{1/[x+√(1+x^2)]}
=-ln[x+√(1+x^2)]
所以是个奇函数
第二个，
原积分=∫(-π/2->0) (sin...
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第一个，
f(x)=ln[x+√(1+x^2)]
因为x∈R
且f(-x)=ln[-x+√(1+x^2)]=ln {[-x+√(1+x^2)][x+√(1+x^2)]/[x+√(1+x^2)]}
=ln{1/[x+√(1+x^2)]}
=-ln[x+√(1+x^2)]
所以是个奇函数
第二个，
原积分=∫(-π/2->0) (sinx)^4/(1+e^(2x)) dx + ∫(0->π/2) (sinx)^4/(1+e^(2x)) dx
然后处理∫(-π/2->0) (sinx)^4/(1+e^(2x)) dx
令t=-x
那么
∫(-π/2->0) (sinx)^4/(1+e^(2x)) dx
=∫(0->π/2) (sint)^4/(1+e^(-2t)) dt
=∫(0->π/2) (sinx)^4/(1+e^(-2x)) dx
所以原积分=∫(-π/2->0) (sinx)^4/(1+e^(2x)) dx + ∫(0->π/2) (sinx)^4/(1+e^(2x)) dx
=∫(0->π/2) (sinx)^4/(1+e^(-2x)) dx +∫(0->π/2) (sinx)^4/(1+e^(2x)) dx
=∫(0->π/2) (sinx)^4/(1+e^(-2x))+ (sinx)^4/(1+e^(2x)) dx
1/(1+e^(-2x))
上下同时乘以e^(2x)
那么
1/(1+e^(-2x))=e^(2x)/(1+e^(2x))
所以1/(1+e^(-2x))+1/(1+e^(2x))=1
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