求微积分 概念 教程

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微积分学 (Calculus, 拉丁语意为用来计数的小石头) 是研究极限、微分学、积分学和无穷级数的一个数学分支,并成为了现代大学教育的重要组成部分.历史上,微积分曾经指无穷小的计算.更本质的讲,微积分学是一门研究变化的科学,正如几何学是研究空间的科学一样.
微积分学在科学、经济学和工程学领域被广泛的应用,来解决那些仅依靠代数学不能有效解决的问题.微积分学在代数学、三角学和解析几何学的基础上建立起来,并包括微分学、积分学两大分支.微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论.它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论.积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法.微积分学基本定理指出,微分和积分互为逆运算,这也是两种理论被统一成微积分学的原因.我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学,但是在教学中,微分学一般会先被引入.在更深的数学领域中,微积分学通常被称为分析学,并被定义为研究函数的科学.
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1 微积分的发展历史
2 微积分的主要内容
2.1 极限
2.2 导数
2.3 微分学
2.4 积分学
3 微积分的符号
4 微积分学的应用
5 微积分学课程
6 外部连接
[编辑]微积分的发展历史
主条目：微积分的发展历史
艾萨克·牛顿爵士 (Sir Isaac Newton) 是微积分最著名的创建者和贡献者之一,并将微积分应用于他的运动定律和万有引力定律.
戈特弗里德·莱布尼茨
积分的起源很早,古希腊时期就有求特殊图形面积的研究；用的是穷尽的方法.
阿基米德（Archimedes）用内接正多边形的周长来穷尽圆周长,而求得圆周率愈来愈好的近似值,也用一连串的三角形来填充抛物线的图形,以求得其面积；这些都是穷尽法的古典例子.
文艺复兴之后,基于实际的需要及理论的探讨,积分技巧有了进一步的发展.譬如为了航海的方便,麦卡托(Mercator) 发明了所谓的麦氏投影法,使得地图上的直线就是航海时保持定向的斜驶线.
17世纪的前半,是微积分学的酝酿时期.确实划分微积分学这门学科是在17世纪由莱布尼茨和牛顿几乎同时创立的,对此学界曾有极大的争论,两人曾为争夺微积分的发明权诉诸皇家学会仲裁. 在他们创立微积分以前,人们把微分和积分视为独立的学科.而微积分之名与其符号之使用则是莱布尼茨所创.
虽然说微积分是莱布尼茨和牛顿发明的,但是指的是他们两人使微积分观念成熟,澄清微、积分之间的关系,使计算系统化,并且把微积分大规模使用到几何与物理上.在他们之前,微积分是萌芽时期,观念在摸索中,计算是个别的,应用也是个别的.
在牛顿、莱布尼茨以前,对微分、积分最有贡献的大概要算费马了,可惜他未能体会两者之间的密切关系.而牛顿的老师巴娄（I. Barrow, 1630～1677）虽然知道两者之间有互逆的关系,但他不能体会此种关系的意义,其原因之一就是求导数还没有一套有系统的计算方法.古希腊平面几何的成功,予西方数学非常深远的影响,一般认为,唯有几何的论证方法才是严格的,才是真正的数学,代数也不过是辅助的工具而已.直到笛卡儿及费马倡导以代数的方法研究几何的问题.这种态度才渐有转变.可是一方面几何思维方式深植人心,而另一方面代数方法仍然未臻成熟,实数系统迟迟未能建立,所以许多数学家仍然固守几何阵营而不能有有效的计算方法,如巴娄就是.牛顿虽然背叛了他老师的纯几何观点,发展了有效的微分方法,可是他的方法迟迟未敢发展.虽然他用了微积分的技巧,由万有引力及运动定律出发说明了他的宇宙体系,但因害怕当时人的批评,在他1687年的巨著《Principia》中,却把微积分的痕迹抹去,而仍以古典的几何论证方式论述.
微积分实际被许多人不断地完善,也离不开巴罗、笛卡尔、费马、惠更斯和沃利斯的贡献.
牛顿、莱布尼茨虽然把微积分系统化,但它还是不严格的.可是微积分被成功地用来解决许多问题,却使十八世纪的数学家偏向其应用性,而少致力于其严格性.当时,微积分学的发展幸而掌握在几个非常优越的数学家,如欧拉（L. Euler, 1707～1783）、拉格朗日（J.U. Lagrange, 1736~1813）、拉普拉斯（P.S. de Laplace, 1749~1827）、达朗贝尔（J.de R. d'Alembert, 1717~1783）及白努利(D. Bernoulli, 1700~1782) 世家等人的手里.
研究的问题由自然现象而来,所以能以自然现象的数据来验合微积分的许多推论.使微积分学不因基础不稳而将之错误.在这些众数学家的手中,微积分学的范围很快地超过现在大学初阶段所授的微积分课程,而迈向更高深的解析学.
发展现代微积分理论的一个动力是为了解决“切线问题”,另一个是“面积问题”.
[编辑]微积分的主要内容
微积分主要有三大类分支：极限、微分学、积分学.微积分的基本理论表明了微分和积分是互逆运算.牛顿和莱布尼茨发现了这个定理以后才引起了其他学者对于微积分学的狂热的研究.这个发现使我们在微分和积分之间互相转换.这个基本理论也提供了一个用代数计算许多积分问题的方法,该方法并不真正进行极限运算而是通过发现不定积分.该理论也可以解决一些微分方程的问题,解决未知数的积分.微分问题在科学领域无处不在.
微积分的基本概念还包括函数、无穷序列、无穷级数和连续等,运算方法主要有符号运算技巧,该技巧与初等代数和数学归纳法紧密相连.
微积分被延伸到微分方程、向量分析、变分法、复分析、时域微分和微分拓扑等领域.微积分的现代版本是实分析.
[编辑]极限
微积分中最重要的概念是“极限”.微商（即导数）是一种极限.定积分也是一种极限.
从牛顿实际使用它到制定出周密的定义,数学家们奋斗了200多年.现在使用的定义是维斯特拉斯于19世纪中叶给出的.
数列极限就是当一个有顺序的数列往前延伸时,如果存在一个有限数（非无限大的数）,使这个数列可以无限地接近这个数,这个数就是这个数列的极限.
数列极限的表示方法是：
其中 L 就是极限的值.例如当 时,它的极限为 L = 0.就是说n越大(越往前延伸),这个值越趋近于0.
[编辑]导数
主条目：导数
我们知道在运动学中,平均速度等于通过的距离除以所花费的时间,同样在一小段间隔的时间内,除上其走过的一小段距离,等于这一小段时间内的速度,但当这一小段间隔的时间趋于零时,这时的速度为瞬时速度,无法按照通常的除法计算,这时的速度为时间的导数.得用求导的方法计算.也就是说,一个函数的自变量趋近某一极限时,其因变量的增量与自变量的增量之商的极限即为导数.在速度问题上,距离是时间的因变量,随时间变化而变化,当时间趋于某一极限时,距离增量除以时间增量的极限即为距离对时间的导数.
导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率.
[编辑]微分学
主条目：微分学
微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率(或微分).换言之,计算导数的方法就叫微分学.微分学的另一个计算方法是牛顿法,该算法又叫应用几何法,主要通过函数曲线的切线来寻找点斜率.费马常被称作“微分学的鼻祖”.
[编辑]积分学
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积分学是微分学的逆运算,即从导数推算出原函数.又分为定积分与不定积分.一个一元函数的定积分可以定义为无穷多小矩形的面积和,约等于函数曲线下包含的实际面积.根据以上认识,我们可以用积分来计算平面上一条曲线所包含的面积、球体或圆锥体的表面积或体积等. 而不定积分,用途较少,主要用于微分方程的解.
[编辑]微积分的符号
微分学中的符号“dx”、“dy”等,系由莱布尼茨首先使用.其中的d源自拉丁语中“差”（Differentia）的第一个字母.积分符号“∫”亦由莱布尼茨所创,它是拉丁语“总和”（Summe）的第一个字母s的伸长(和∑有相同的意义).
[编辑]微积分学的应用
微积分学的发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域.它与大部分科学分支,特别是物理学,关系密切,而经济学亦经常会用到微积分学.几乎所有现代技术,如建筑、 航空等都以微积分学作为基本数学工具.
[编辑]微积分学课程
在高校理、工科教学中,微积分是“高等数学”的主要内容之一.其教学法由学科创立一开始就受到人们重视.

微积分学 (Calculus, 拉丁语意为用来计数的小石头) 是研究极限、微分学、积分学和无穷级数的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。历史上，微积分曾经指无穷小的计算。更本质的讲，微积分学是一门研究变化的科学，正如几何学是研究空间的科学一样。
微积分学在科学、经济学和工程学领域被广泛的应用，来解决那些仅依靠代数学不能有效解决的问题。微积分学在代数学、三角学和解析几何学的基...

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微积分学 (Calculus, 拉丁语意为用来计数的小石头) 是研究极限、微分学、积分学和无穷级数的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。历史上，微积分曾经指无穷小的计算。更本质的讲，微积分学是一门研究变化的科学，正如几何学是研究空间的科学一样。
微积分学在科学、经济学和工程学领域被广泛的应用，来解决那些仅依靠代数学不能有效解决的问题。微积分学在代数学、三角学和解析几何学的基础上建立起来，并包括微分学、积分学两大分支。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。在更深的数学领域中，微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学。

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