高一数学向量三角函数综合问题设向量a=（cosα,sinα）, 向量b=（sinα,cosα）.若对任意的α属于全体实数集总有|a-tb| 大于等于 |a-b|求实数t的变化范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/21 19:41:37
高一数学向量三角函数综合问题设向量a=（cosα,sinα）, 向量b=（sinα,cosα）.若对任意的α属于全体实数集总有|a-tb| 大于等于 |a-b|求实数t的变化范围
高一数学向量三角函数综合问题
设向量a=（cosα,sinα）, 向量b=（sinα,cosα）.
若对任意的α属于全体实数集
总有|a-tb| 大于等于 |a-b|
求实数t的变化范围
高一数学向量三角函数综合问题设向量a=（cosα,sinα）, 向量b=（sinα,cosα）.若对任意的α属于全体实数集总有|a-tb| 大于等于 |a-b|求实数t的变化范围
|a-tb|>=|a-b| ,平方
a^2-2tab+t^2b^2>=a^2-2ab+b^2
(t^2-1)b^2+2(1-t)ab>=0
(t^2-1)+2(1-t)sin2α>=0
当t=1,成立
当t>1,sin2α=<(1+t)/2,(1+t)/2>=1,t>1
当t<1,sin2α>=(1+t)/2,(1+t)/2=<-1,t=<-3
综上,t>=1或t=<-3
|a|=1，|b|=1
ab=cosasina+sinacosa=2sinacosa=sin2a
|a-tb|>=|a-b|
平方得
a²-2abt+b²t²>=a²-2ab+b²
1-2sin2at+t²>=1-2sin2a+1
2(1-t)sin2a+(t²-1)>=0
全部展开
|a|=1，|b|=1
ab=cosasina+sinacosa=2sinacosa=sin2a
|a-tb|>=|a-b|
平方得
a²-2abt+b²t²>=a²-2ab+b²
1-2sin2at+t²>=1-2sin2a+1
2(1-t)sin2a+(t²-1)>=0
因为对任意的a，该不等式都成立
而且-1=
2(1-t)+(t²-1)>=0
化简为
t²+2t-3>=0
t²-2t+1>=0（恒成立）
解得t<=-3或t>=1
实数t的取值范围是(-∞,-3)∪(1,+∞)
收起