解关于x的不等式x²-ax+a-1>0(a∈R)

解关于x的不等式x²-ax+a-1>0(a∈R)
解关于x的不等式x²-ax+a-1>0(a∈R)

解关于x的不等式x²-ax+a-1>0(a∈R)
∵抛物线y=x²-ax+a-1=(x-a+1)(x-1),
图象开口向上,与X轴的交点坐标是(a-1,0)、(1,0)
∴①当a＜2时,a-1＜1,即点(a-1,0)在(1,0)左侧,
∴x²-ax+a-1>0的解集是x＜a-1或x＞1.
②当a=2时,a-1=1,即点(a-1,0)与(1,0)重合,抛物线与X轴只有唯一的交点,此交点即为抛物线的顶点,
∴x²-ax+a-1>0的解集是x≠1
③当a＞2时,a-1＞1,即点(a-1,0)在(1,0)右侧,
∴x²-ax+a-1>0的解集是x＜1或x＞a-1.

先求△
得到表达式a^2-4a-1
解方程a^2-4a-1=0 得a=2±根3
再观察原不等式，可知不等式左侧的二次幂函数的图形开口向上，所以只存在最小值，则当△<0时，x取值为全体实数，此时a∈(2-根3 ， 2+根3)
当△=0时，不等式左侧的解为一个根，x=a/2，的取值为除去最小值点的所有实数，即a=2±根3时
当△>0时，不等式左侧的解为两个根，x...

全部展开

先求△
得到表达式a^2-4a-1
解方程a^2-4a-1=0 得a=2±根3
再观察原不等式，可知不等式左侧的二次幂函数的图形开口向上，所以只存在最小值，则当△<0时，x取值为全体实数，此时a∈(2-根3 ， 2+根3)
当△=0时，不等式左侧的解为一个根，x=a/2，的取值为除去最小值点的所有实数，即a=2±根3时
当△>0时，不等式左侧的解为两个根，x=(a±根△）/2 ,取值为除去两根及其两根之间的所有实数的实数集合，即a<2-根3 或2+根3时
综上，
当a∈(2-根3 ， 2+根3)时 x解集为R
当a=2±根3时 x解集为{x|x≠a/2}
当a∈(-∞,2-根3)或 (2+根3,+∞)时 x解集(-∞,(a-根△）/2)∪ ((a+根△）/2,+∞)

收起

x²-ax+a-1>0
(x+1-a)(x-1)>0
(x+1-a)(x+1-2)>0
(1)a>2
x+1>a,x>a-1
x+1<2,x<1
(2) a=2
x≠1
(3)a<2
x+1>2,x>1
x+1