求过点(0,2)的直线被椭圆x^2+2y^2=2所截弦的中点的轨迹方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/03 05:41:03
求过点(0,2)的直线被椭圆x^2+2y^2=2所截弦的中点的轨迹方程
求过点(0,2)的直线被椭圆x^2+2y^2=2所截弦的中点的轨迹方程
求过点(0,2)的直线被椭圆x^2+2y^2=2所截弦的中点的轨迹方程
y=kx+2
x^2+2(kx+2)^2=2
(1+2k^2)x^2+8kx+6=0
x1+x2=-8k/(1+2k^2)
弦中点M Mx=(1/2)(x1+x2)=-4k/(1+2k^2)
My=-4k^2/(1+2k^2)+2=2/(1+2k^2)
My=2/(1+(1/2)(Mx/My)^2 )
y=4y^2/(2y^2+x^2)
2y^2+x^2=4y
轨迹方程2(y-1)^2+x^2=2
弦AB的中点M(x,y)
2x=xA+xB,2y=yA+yB
k(AB)=(yA-yB)/(xA-xB)=(y-2)/x
(xA)^2+2(yA)^2=2......(1)
(xB)^2+2(yB)^2=2......(2)
(1)-(2):
(xA+xB)*(xA-xB)+2(yA+yB)*(yA-yB)=0
(xA+xB)+2(yA+yB)*[(yA-yB)/(xA-xB)]=0
2x+2*2y*(y-2)/x=0
截弦的中点的轨迹方程:
x^2+2(y-1)^2=2
过点(0,2)的直线 y=kx+2
x^2+2y^2=2 x^2+2(kx+2)^2-2=0 (2k^2+1)x^2+8kx+2=0
x1+x2=-8k/(2k^2+1)
y1+y2=kx1+2+kx2+2=k(x1+x2)+4=-8k^2/(2k^2+1)+4
截弦的中点M(x,y)
x1+x2=2x
y1+y2=2y
x...
全部展开
过点(0,2)的直线 y=kx+2
x^2+2y^2=2 x^2+2(kx+2)^2-2=0 (2k^2+1)x^2+8kx+2=0
x1+x2=-8k/(2k^2+1)
y1+y2=kx1+2+kx2+2=k(x1+x2)+4=-8k^2/(2k^2+1)+4
截弦的中点M(x,y)
x1+x2=2x
y1+y2=2y
x=-4k/(2k^2+1) (1)
y=-4k^2/(2k^2+1)+2=2/(2k^2+1) (2)
(1)/(2)
x/y=-2k k=-x/2y 代入(2)
y=2/(x^2/2y^2+1)
得
x^2+2y^2-4y=0
收起