α,β是方程x^2-2ax+a+6=0的实数根,求:(α-1)^2+(β-1)^2的最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 09:33:08
α,β是方程x^2-2ax+a+6=0的实数根,求:(α-1)^2+(β-1)^2的最小值.
α,β是方程x^2-2ax+a+6=0的实数根,求:(α-1)^2+(β-1)^2的最小值.
α,β是方程x^2-2ax+a+6=0的实数根,求:(α-1)^2+(β-1)^2的最小值.
∵一元二次方程x2-2ax+a+6=0有两个实根；
∴△=4a²-4×（a+6）=4a²-4a-24≥0；
解得：a≤-2或a≥3；
∵α,β是关于x的一元二次方程x²-2ax+a+6=0的两个实根；
∴α+β=2a,α•β=a+6；
（α-1）²+（β-1）²=α²+1-2α+β²-2β+1=α²+β²-2（β+α）+2
=（α+β）²-2αβ-2（α+β）+2
=4a²-2×（a+6）-2×2a+2
=4a²-2a-10
=4（a-4分之3）²-4分之49 ；
∵a≤-2或a≥3；
∴（a-4分之3）²≥（4分之49）²；
∴4（a-4分之3）²-4分之49≥8；
则（α-1）²+（β-1）²的最小值为8．
方程有实数根，∴△≥0 即4a²－4a－24≥0
∴a≥3或a≤－2
由根与系数的关系得 α＋β＝2a， αβ＝a＋6
∴:(α-1)²+(β-1)²＝α²－2α＋1＋β²－2β＋1
＝（α²＋β²）－2（α＋β）＋2
＝（α＋β）²－...
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方程有实数根，∴△≥0 即4a²－4a－24≥0
∴a≥3或a≤－2
由根与系数的关系得 α＋β＝2a， αβ＝a＋6
∴:(α-1)²+(β-1)²＝α²－2α＋1＋β²－2β＋1
＝（α²＋β²）－2（α＋β）＋2
＝（α＋β）²－2αβ－2（α＋β）＋2
＝（2a）²－2（a＋6）－2（2a）＋2
＝4a²－6a－10
设t＝4a²－6a－10
这个二次函数的顶点为（3/4,-49/4) 它不在a的取值范围内，所以函数的最小值只能在端点处取得。
当a＝3时 t＝8；当a＝－2时t＝18， 8＜18
∴t的最小值为8。 即为所求。
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