点O是三角形ABC所在平面内一点,点O是三角形ABC内心.求证│向量BC│·向量OA+│向量CA│·向量OB＋│向量AB│·向量OC＝零向量
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 19:04:09
点O是三角形ABC所在平面内一点,点O是三角形ABC内心.求证│向量BC│·向量OA+│向量CA│·向量OB＋│向量AB│·向量OC＝零向量
点O是三角形ABC所在平面内一点,点O是三角形ABC内心.
求证│向量BC│·向量OA+│向量CA│·向量OB＋│向量AB│·向量OC＝零向量
点O是三角形ABC所在平面内一点,点O是三角形ABC内心.求证│向量BC│·向量OA+│向量CA│·向量OB＋│向量AB│·向量OC＝零向量
O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性：
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,
延长CO交AB于D,根据向量加法得：
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
因为OD与OC共线,所以可设OD=kOC,
上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA与DB共线,向量OC与向量DA、DB不共线,
所以只能有：ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,
所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线.
必要性：
已知O是三角形内心,
设BO与AC相交于E,CO与AB相交于F,
∵O是内心
∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE
过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO的延长线相交于M,
所以四边形OMAN是平行四边形
根据平行四边形法则,得
向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0