利用导数求函数的极值设函数f(x)=x^2e^(x-1)+ax^3+bx^2已知x=-2 和x=1为f(x)的极值点）（1）求a和b的值（2）讨论f(x)的单调性

利用导数求函数的极值设函数f(x)=x^2e^(x-1)+ax^3+bx^2已知x=-2 和x=1为f(x)的极值点）（1）求a和b的值（2）讨论f(x)的单调性
利用导数求函数的极值
设函数f(x)=x^2e^(x-1)+ax^3+bx^2已知x=-2 和x=1为f(x)的极值点
）（1）求a和b的值
（2）讨论f(x)的单调性

利用导数求函数的极值设函数f(x)=x^2e^(x-1)+ax^3+bx^2已知x=-2 和x=1为f(x)的极值点）（1）求a和b的值（2）讨论f(x)的单调性
(1)f'(x) = 2x*e^(x-1) + x^2*e^(x-1) + 3ax^2 + 2bx
极值点的导数值一定为0
所以f'(-2) = -4e^(-3) + 4e^(-3) + 12a - 4b = 12a - 4b = 0
f'(1) = 2 + 1 + 3a + 2b = 0
解得a = -1/3,b = -1
(2)f'(x) = 2x*e^(x-1) + x^2*e^(x-1) - x^2 - 2x = (x^2 + 2x)[e^(x-1) -1]
所以极点有:x = 0,x = -2,x = 1
当x>1时,f'(x)>0
当00
当x

这好像是高考题啊

因为是极值点，因此f'(x)在此处有零点，可据此求出a、b；a、b一出，单调性即告破也。

解
1）
.f(x)的导数f‘（x）=(x^2+2x)e^(x-1)+3ax^2+2bx,
已知x=-2 和x=1为f(x)的极值点，那么有：
x=-2和x=1是其根，
带入之后
12a+4b=0
3a+2b=0
解得a=-1/3,b=1
2.讨论f(x)的单调性就是讨论其导函数f'(x)和0的大小
根据1）有

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解
1）
.f(x)的导数f‘（x）=(x^2+2x)e^(x-1)+3ax^2+2bx,
已知x=-2 和x=1为f(x)的极值点，那么有：
x=-2和x=1是其根，
带入之后
12a+4b=0
3a+2b=0
解得a=-1/3,b=1
2.讨论f(x)的单调性就是讨论其导函数f'(x)和0的大小
根据1）有
f’（x）=(x^2+2x)e^（x-1）-x^2+2x=0的根是-2和1
当x<-2时，f'(x)<0
当x∈（-2,1）时f'(x)>0
当x>1时，f（x）'<0
∴（-∞，-2）U （1，+∞）单调减
在（-2,1）上单调增

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f'(x)=3ax^2+2bx-3a^2
令f'(x)=3ax^2+2bx-3a^2=0
德尔塔=4b^2+36a^3>0①
x1+x2=-2b/3a x1x2=-a
|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4bb/9aa+4a=4②
结合①②
得bb=9aa(1-a)≤36[（a/2+a/2+1-a)/3]^3=4/3
当且仅当...

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f'(x)=3ax^2+2bx-3a^2
令f'(x)=3ax^2+2bx-3a^2=0
德尔塔=4b^2+36a^3>0①
x1+x2=-2b/3a x1x2=-a
|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4bb/9aa+4a=4②
结合①②
得bb=9aa(1-a)≤36[（a/2+a/2+1-a)/3]^3=4/3
当且仅当a=2/3时取等号
所以 -2/√3≤b≤2/√3
2
当a=0时，f（x）=-3x+1 不合题意
当a<0时，f'(x)=3ax^2-3<0 所以f（x）单调减
只要f（1）≥0成立，即a-2≥0 a≥2 和a<0矛盾 舍去
当a>0时，令f'(x)=3ax^2-3=0 得到x1=1/√a x2=-1/√a
若x1=1/√a ≥1，a≤1时，f（x）在[-1,1]上减，
只要f(1)≥0 a≥2，舍去
若x1=1/√a≤1，a≥1时 f（x）在[-1,1]上最小值为
f（1/√a)≥0，a≥4
综上，a≥4

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