如图,在三棱锥a bcd中,ab垂直于平面bcd,角dbc等于90度,BC＝BD＝2,AB＝1,则BC和平面ACD所成角的正弦值

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/22 18:04:16

如图,在三棱锥abcd中,ab垂直于平面bcd,角dbc等于90度,BC＝BD＝2,AB＝1,则BC和平面ACD所成角的正弦值如图,在三棱锥abcd中,ab垂直于平面bcd,角dbc等于90度,BC＝

如图,在三棱锥a bcd中,ab垂直于平面bcd,角dbc等于90度,BC＝BD＝2,AB＝1,则BC和平面ACD所成角的正弦值
如图,在三棱锥a bcd中,ab垂直于平面bcd,角dbc等于90度,BC＝BD＝2,AB＝1,则BC和平面ACD所成角的正弦值

如图,在三棱锥a bcd中,ab垂直于平面bcd,角dbc等于90度,BC＝BD＝2,AB＝1,则BC和平面ACD所成角的正弦值
向量法
以B为原点,BC,BD,BA为轴建系
则C(2,0,0),D(0,2,0),A(0,0,1)
∴AC→=(2,0,-1),AD→=(0,2,-1)
设面ACD法向量为n→=(x,y,2),则
2x-2=0,x=1
2y-2=0,y=1,∴n→=(1,1,2)
BC→=(1,0,0),设BC和面ACD所成角为θ,则
sinθ=|cos|=|1+0+0|/[√(1+0+0)*√(1+1+4)]=√6/6
几何法
∵AB⊥面BCD,∴AB⊥BD
∵BC⊥BD,∴BD⊥面ABC
∴△ABC是△ADC在面ABC上的射影
勾股定理得AD=AC=√5,CD=2√2
作AE⊥CD於E,则DE=CE=√2,勾股定理得AE=√3
∴S△ACD=CD*AE/2=√6
S△ABC=AB*BC/2=1
设二面角D-AC-B为α,面积射影定理得cosα=S△ABC/S△ADC=1/√6
∴sinα=√5/√6
又sinACB=AB/AC=1/√5
设BC和面ACD所成角为θ,三正弦定理得sinθ=sinαsinACB=√6/6